21.19. Ангармонічні коливання

Гармонічні коливання відбуваються під впливом квазіпружної сили . У загальному випадку залежність сили від зміщення x може бути нелінійною й у розкладанні по степенях x слід враховувати квадратичні й більш високі степені x.

Обмежимося випадком, коли

.

де s — коефіцієнт ангармонічності.

Тоді рівняння руху набирає вигляду

або

,

(21.73)

де, як і раніше (див. §21.3), .

З теорії диференціальних рівнянь випливає, що рішення здобутого нелінійного диференціального рівняння можна представити у вигляді

,

(21.74)

де A, a і x₀ — сталі.

Рис. 21.29

Для гармонічного осцилятора, що коливається за законом x=A cos wt середнє значення зміщення , оскільки . З (21.74) видно, що середнє значення зміщення <x> для ангармонічного осцилятора , тобто відмінне від нуля. Опускаючи громіздкі математичні перетворення, можна показати, що , тобто . Це пов'язане з тим, що для ангармонічного осцилятора залежність повертаючої сили від зміщення (рис. 21.29) така, що в області додатних значень x значення сили менше, ніж в області від’ємних.

Розглянемо деякі приклади виявлення ангармонічност1.

Більшість фізичних характеристик кристалічних твердих тіл можна знайти, виходячи із припущення, що атоми кристалічної решітки виконують гармонічні коливання біля положень рівноваги. Однак ця модель не в змозі пояснити таке явище, як теплове розширення кристала, оскільки при зростанні температури й відповідно енергії атомів їх положення рівноваги (обумовлені середнім значенням зміщенням ) залишаються незмінними. У дійсності ж коливання атомів ангармонічні, що пояснюється несиметричною формою кривої потенціальної енергії міжатомної взаємодії (див. рис. 10.1). Середня енергія коливального руху атома, з однієї сторони пропорційна квадрату амплітуди (формула (21.13)), а з іншого боку – значенню абсолютної температури (формула (18.12)), тому A²k. Оскільки A², то T. Таким чином, середні значення координат атомів збільшуються пропорційно температурі, тобто відбувається теплове розширення кристала.

У більшості випадків коливання атомів у молекулі можна розглядати як коливання гармонічного осцилятора. Як показують розрахунки, проведені в рамках квантової механіки, гармонічний осцилятор має набір дискретних рівновіддалених рівнів енергії. Однак для деяких молекул (особливо для молекул з нежорсткими, рухливими зв'язками) така закономірність порушується. Це пов'язане з ангармонічністю коливань, що приводить до того, що з ростом енергії відстань між сусідніми енергетичними рівнями зменшується.

21.20. Фазова траєкторія

У попередніх підрозділах різні коливальні процеси описувалися відповідними диференціальними рівняннями, рішення яких були представлені у вигляді залежності зміщення x від часу t: x=x(t). Таке описання коливальних систем можна назвати координатним, оскільки, знаючи явний вигляд залежності координати x від часу t, можна однозначно визначити стан системи в будь-який момент часу.

Однак стан будь-якої механічної системи, що складається з n матеріальних точок можна однозначно описати, задавши координати й імпульси всіх матеріальних точок: x₁, y₁, z₁; x₂, y₂, z₂; ... ; x_n, y_n, z_n; m₁v_1x; m₁v_1y, m₁v_1z ; ... ; m_nv_nx; m_nv_ny; m_nv_nz. Уведемо в розгляд уявний 6n-мірний простір (3n — просторових координат і 3n — імпульсних). Такий простір називають фазовим. Стану системи з певними значеннями координат і імпульсів всіх матеріальних точок буде відповідати в цьому просторі фазова точка з координатами (x₁, y₁, z₁; x₂, y₂, z₂; ... ; x_n, y_n, z_n; m₁v_1x; m₁v_1y, m₁v_1z ; ... ; m_nv_nx; m_nv_ny; m_nv_nz). Ця точка при зміні стану системи буде переміщатися у фазовому просторі, описуючи деяку лінію, що називається фазовою траєкторією. Для коливальної системи, що має один ступінь вільності, фазовий простір вироджується у фазову площину з координатними осями x і .

Знайдемо вид фазової траєкторії для загасаючих коливань. У цьому випадку залежність зміщення x від часу t має вигляд

,

де  – коефіцієнт загасання.

Звідси

.

(21.75)

Продиференціюємо останній вираз за часом. Поділивши на  дістанемо

.

(21.76)

Піднесемо до квадрата обидві частини рівнянь (21.75) і (21.76), складемо отримані вирази й потім помножимо на . У результаті дістанемо рівняння фазової траєкторії для загасаючих коливань:

,

(21.77)

де — значення імпульсу.

Вид фазової траєкторії показаний на рис. 21.30. У процесі загасаючих коливань точка у фазовій площині рухається по спіралі, наближаючись до початку координат.

Фазову траєкторію для гармонічного осцилятора можна знайти з (21.77), поклавши =0. Маємо

,

(21.78)

тобто у цьому випадку фазова траєкторія являє собою еліпс, що його пробігає фазова точка за час, рівний періоду коливань (рис. 21.31).

Рис. 21.31	Рис. 21.30

Можна показати, що такий вид фазової траєкторії для незагасаючих коливань є наслідком закону збереження енергії для гармонічного осцилятора. Справді, для гармонічних коливань

де W, W_k, W_p — відповідно повна, кінетична й потенціальна енергія. Оскільки W=W_k+W_p,, то, звідки випливає рівняння для фазової траєкторії (21.78).