21.17. Автоколивання

Рис. 21.25

Системи, що виконують незагасаючі коливання за рахунок дії джерела енергії, що не має коливальних властивостей, називаються автоколивальними. Будь-яка автоколивальна система складається з таких основних частин (рис. 21.25): 1) джерела енергії, що компенсує втрати енергії на подолання сил опору; 2) коливальної системи; 3) "клапана" — пристрою, що дозовано регулює підведення енергії в коливальну систему; 4) зворотного зв'язку — пристрою, що управляє роботою клапана за допомогою процесів, що протікають у коливальній системі.

Рис. 21.26

Розглянемо як приклад модель електромеханічної автоколивальної системи (рис. 21.26). У цьому випадку джерелом енергії служить батарея E, коливальною системою — пружинний маятник M, клапаном — контакт-переривник K, а зворотний зв'язок здійснюється за допомогою електромагніта ЕМ, що притягує сталеву кульку маятника. У початковий момент контакт замикають, по ланцюзі протікає струм, і кулька маятника притягається до електромагніту; при цьому контакт розривається й маятник починає рухатися. При поверненні кульки у вихідний стан контакт знову замикається, і коливання відновляються.

Аналогічні автоколивальні механізми використовують також у механічних годинниках, відбійних молотках, двигуні внутрішнього згоряння й інших пристроїв.

Прийнято розрізняти додатний і від’ємний зворотний зв'язок.

У випадку додатного зворотного зв'язку напрямки зовнішньої сили та швидкості коливальної системи збігаються. У цьому випадку джерело енергії виконує над коливальною системою додатну роботу, тобто передає їй енергію.

У випадку від’ємного зворотного зв'язку напрямки зовнішньої сили та швидкості взаємно протилежні і коливання системи загасають швидше, ніж за час відсутності зворотного зв'язку.

У розглянутому прикладі знак зворотного зв'язка можна змінити, переміщуючи електромагніт.

21.18. Спектр коливань

Будь-який складний коливальний рух може бути представлений як сукупність гармонічних коливань із різними частотами й амплітудами. Сукупність таких коливань називається спектром. Для того, щоб знайти спектр коливань, тобто розкласти складний коливальний рух на окремі гармонічні складові, діють так.

Нехай складне коливання описується періодичною (з періодом T), але не гармонічною функцією f(t)=f(t+T). За теоремою Фур'є цю функцію можна представити у вигляді суми гармонічних складових:

,

(21.71)

де ; гармонічне коливання з амплітудою a_k і частотою _k називають часто гармонікою. Основна гармоніка (k=1) із частотою ₁ =₀ називається тоном, гармоніка із частотою _k = 2₀, 3₀ ... – обертоном.

Для знаходження амплітуд гармонік помножимо (21.71) на й зінтегруємо у межах від 0 до T:

,

(21.72)

Інтеграл у правій частині (21.72) легко обчислюється:

.

Таким чином, у сумі, що фігурує в правій частині (21.72), залишається тільки один доданок з k=n. Тому

.

Рис. 21.27

На рис. 21.27 як приклад показаний графік складного коливання, що є сумою трьох гармонік:

.

Із цього графіка практично неможливо визначити число гармонік, їхні амплітуди й частоти. Якщо ж побудувати спектр цього коливання, тобто залежність амплітуди від частоти (рис. 21.28), то безпосередньо видно, що розглянуте коливання складається із трьох гармонік з амплітудами A_=2, A₂=3, A₃= і частотами _, ₂2, ₃3 c^-1.

Чим сильніше вихідне коливання відрізняється від гармонічного, тим багатший його спектр, тобто тим більше гармонік утримується в розкладанні (21.71). У загальному випадку спектр складного коливання містить нескінченний ряд гармонік, амплітуди яких швидко убувають зі збільшенням їхнього номера, так що практично в розкладанні (21.71) доводиться брати до уваги тільки деяке кінцеве число обертонів.

Рис. 21.28

Експериментально гармоніки можуть бути знайдені за допомогою набору осциляторів¹ , власні частоти яких обрані з певним кроком (частотомір). Тоді при впливі складного імпульсу на цей набір будуть резонувати ті з осциляторів, власні частоти яких близькі до частот гармонік у розкладанні (21.71).

Можна також виявити ці гармоніки, якщо взяти один осцилятор із плавно перестроюваною власною частотою. У ті моменти, коли власна частота осцилятора буде збігатися із частотою однієї з гармонік, виникне резонанс.