Формула Бернулли
Часто практике
соответствует схема
независимых испытаний Бернулли:
проводятся испытания, в которых
вероятность появления события
(«успеха») одна и та же, а исходы независимы
друг от друга.
Задача:
определить вероятность того, что при
испытаниях событие
произойдет
раз (не произойдет
раз). При этом не требуется, чтобы событие
повторялось ровно
раз в определенной последовательности.
Например, при
один «успех» может быть реализован
следующим образом
.
Для общего случая
вероятность
«успехов» из
испытаний равна
где
- число сочетаний из
по
,
Пример. Вероятность того, что
операционные расходы фирмы в течение
1 месяца не превысят установленный
бюджет, равна 0,75. Найти вероятность
того, что в ближайшие 6 месяцев операционные
расходы в течение 4-х месяцев из них не
превысят норму.
Замечание.
Формула Бернулли требует больших
вычислений при больших значениях
.
Локальная формула Лапласа
Используется в
схеме испытаний Бернулли
для более простого асимптотического
определения вероятности
успехов из
– испытаний, если
где
нормированная и центрированная случайная
(стандартная)
величина, функция
табулирована.
Пример. Найти вероятность того, что
событие
появится ровно 80 раз в 400 испытаниях,
если вероятность события в каждом
испытании равна 0,2.
Интегральная формула Лапласа
Имеем вновь схему
испытаний Бернулли,
но требуется
вычислить вероятность того, что событие
появится в
испытаниях от
до
раз (не менее
и не более
раз). Эта задача распространена в
прикладных вопросах теории вероятностей:
где
- табулированная функция.
Пример. В страховой компании 10 000
клиентов. Страховой взнос – 2 000 руб.
Вероятность страхового случая
Страховая выплата – 200 000 руб. Определить
размер прибыли стразовой компании с
вероятностью
Прибыль
млн.
руб., где
- число страховых случаев. Найдем такое
,
чтобы
.
.
Из таблицы найдем
при
.
из таблиц
.
Окончательно
млн. руб.
Случайные одномерные величины
случайные события,
случайные величины (с.в.)
значения (в том
числе и отрицательные) с.в. на
числовой оси.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, априори неизвестное и независящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
С.в. может быть непрерывной (аналоговой) или дискретной (прерывистой).
Пример непрерывной с.в.: расстояние, которое пролетает снаряд из орудия, зависит от большого количества факторов (ветра, t0, угла прицела, изменений количества и состояния пороха и т.д.), точности измерений (шаги, метры, микроны и т.д.). Имеет место и «эллипс» рассеяния (влево-вправо).
Непрерывная с.в. имеет бесконечное число значений и несчетна. Вероятность отдельного конкретного значения случайной величины равна 0 (но это событие возможно). Можно говорить о вероятности диапазона значений непрерывной с.в.
Дискретная с.в. может быть конечной или бесконечной, но она счетна (ей можно поставить в соответствие натуральный ряд чисел).
Примеры дискретной случайной величины:
1.Число родившихся мальчиков из 100 новорожденных случайно: 0, 1, 2, 3, ... 100. Однако оно всегда дискретно и устойчиво больше, чем число родившихся девочек. С возрастом соотношение выравнивается, затем становится меньше.
2. Вероятность числа «успехов» в схеме Бернулли.
Характеристики с.в.: 1.Графики, таблицы.
2.Аналитические функции (интегральная и дифференциальная функция распределения), функционалы от них (числовые характеристики), квантили.