- •Наблюдаемые явления (результат испытаний)
- •Алгебра событий
- •Диаграммы Эйлера-Венна
- •Доказательство теоремы о сложении вероятностей совместных событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула вероятности гипотез
- •Формула Бернулли
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Случайные одномерные величины
- •Распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •2.Распределение Пуассона
- •Основные формулы комбинаторики, используемые для определения вероятностей алгебры событий
- •Функция (интегральный закон) распределения с.В.
- •Плотность вероятности (дифференциальный закон) распределения непрерывной с.В.
- •Числовые характеристики распределения с.В.
- •Математическое (безусловное) ожидание с.В.
- •Дисперсия (безусловная) с.В.
- •5.Квантили распределения
- •Нормальное (Гауссово) распределение
- •Функция Лапласа
- •Равномерное (равновероятное, прямоугольное)
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Распределение χ2
- •Двумерные с.В. («проклятие размерности»)
- •Свойства
- •Условные математические ожидания (регрессии)
- •II. Математическая статистика
- •Построение эмпирической (статистической) функция распределения
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Точечные оценки точности оценок (статистик) генеральных числовых характеристик
- •Математического ожидания и дисперсии
- •Доверительные интервалы оценки среднеквадратического отклонения
- •Методы оценки параметров известного распределения
- •1.Метод моментов (Пирсона)
- •2. Метод максимального правдоподобия (Фишера)
- •Парная линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Коэффициент детерминации регрессий
Точечные оценки точности оценок (статистик) генеральных числовых характеристик
-оценки статистических характеристик
- с.в., характеризуемая законами распределения и числовыми характеристиками распределения (обычно математическим ожиданием и дисперсией).
Можно говорить о распределении оценки матожидания, о матожидании оценки матожидания, о дисперсии оценки матожидания и т.д.
1. Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемой характеристике.
2.Оценка называется несмещенной, если .
- смещение, систематическая погрешность (от смещенности)
Асимптотически несмещенная оценка
3.Оценка называется эффективной, если при используемом методе ее расчета выполняется условие .
Пример1. Оценка является несмещенной, а ее дисперсия уменьшается при усреднении в раз:
Если ~- эффективная оценка.
В прикладной статистике и в эконометрике, наибольшее внимание уделяют обеспечению эффективности и несмещенности оценок.
Пример 2. Оценка дисперсии является смещенной:
Доказано, что - т.е. данный алгоритм дает смещенную оценку дисперсии: . Исправленная (несмещенная) оценка дисперсии
.
На практике исправленной оценкой дисперсии пользуются при
Интервальная оценка точности (надежность) генеральных
Математического ожидания и дисперсии
Доверительный интервал - интервал значений, в котором с заданной доверительной вероятностью (обычно назначают ) находится истинное значение оцениваемой статистической характеристики : .
Радиус доверительного интервала равен:,
- аргумент, соответствующий значению функции Лапласа, равной :
; - среднеквадратическое отклонение (его оценка).
Доверительный интервал случаен (зависит от конкретных выборок): случайно его положение на числовой оси и случайна его длина.
При , а при
Доверительный интервал для оценки математического ожидания
Здесь рассматривается как аргумент табулированной функции распределения Лапласа (нормальной !), при котором она равна значению : .
Значение генерального среднеквадратического отклонения редко известно, поэтому обычно в формуле используют оценку среднеквадратического отклонения, т.е. .
Пример:~ Найти доверительный интервал для оценки неизвестного , при выборочном среднем , если объем выборки n=36, а .
Замечание. Практически важной может быть задача определения объема выборки, которая обеспечит заданный радиус доверительного интервала: .
Более точные результаты при малых объемах выборки и неизвестном дает использование распределения Стьюдента: для переменной - , имеющей распределение Стьюдента с степенями свободы отклонение (~) Тогда доверительный интервал при неизвестном среднеквадратическом отклонении определяется следующим образом: , где аргумент табулированного распределения Стьюдента.
Доверительные интервалы оценки среднеквадратического отклонения
Пусть вновь ~, и - неизвестно, а . Тогда
где .
Доказано, что имеет табулированное распределение , независящее от параметров и исходного распределения, но зависящее от объема выборки и доверительной вероятности. Вычислив по выборке , находим по таблице , определяем границы доверительного интервала.