8.3 Криволинейные системы координат

В ряде практических приложений оказывается целесообразным использование систем координат, отличных от декартовой.

Полярная система координат

Примером альтернативной системы координат на плоскости является полярная система координат.

Положение точки на плоскости в этой системе координат задается парой упорядоченных чисел , где , , удовлетворяющих ограничениям . Точка O называется полюсом, а луч OP – полярной осью. Угол  отсчитывается против часовой стрелки. Для полюса этот угол не определяется.

y O P x

Формулы перехода от ортонормированной декартовой системы координат к полярной и обратно имеют следующий вид:

_.

Использование полярной системы координат позволяет упростить описание объектов, обладающих точечной симметрией.

Сферическая система координат

В ряде практических приложений, требующих аналитического исследования пространственных объектов, используется так называемая сферическая система координат.

Положение точки в пространстве в этой системе однозначно задается при помощи упорядоченной тройки чисел , (см. рис.), где

, ,

которые удовлетворяют ограничениям .

Использование сферической системы координат иногда позволяет получить более простое аналитическое описание геометрических объектов, обладающих точечной симметрией. Например, уравнение сферы единичного радиуса с центром в начале координат в сферической системе будет иметь вид .

Формулы перехода между ортонормированной декартовой системой координат и сферической имеют следующий вид:

а для обратного перехода соответственно

Цилиндрическая система координат

В тех случаях, когда исследуемый пространственный объект обладает осевой симметрией, может оказаться удобным применение цилиндрической системы координат.

Положение точки в пространстве в этой системе однозначно задается при помощи упорядоченной тройки чисел (см. рис.), где

, ,

удовлетворяющие ограничениям

Формулы перехода от ортонормированной декартовой системы координат к цилиндрической и обратно имеют следующий вид:

СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

НА ПЛОСКОСТИ

Лекция 9

9.1. Вырожденные линии второго порядка

К вырожденным линиям второго порядка будем относить следующие типы.

1. Тип линии “Несовпадающие прямые”

Уравнение определяет пару пересекающихся прямых в системе координат . В свою очередь уравнение при определяет пару параллельных прямых.

2. Тип линии “Совпадающие прямые”

Уравнение определяет прямую в системе координат . Получается из типа линии 1 предельным переходом при .

3. Тип линии “Точки”

Уравнение определяет единственную точку – начало координат системы .

4. Тип линии “Пустые множества”

Уравнения и не определяют на плоскости никаких точек. Однако эти случаи иногда именуют “мнимыми линиями”.