Оптимальная периодичность поставок

_опт=

_опт1= q_опт/;

_опт2=

Lmin=

Системы массового обслуживания. Основные понятия и виды СМО

В жизни часто приходится сталкиваться с с-ми, кот. предназначены для многоразового использования при реш-ии однотипных задач. Возникающие при этом пр-ссы получили название пр-ссы обслуживания, а с-мы – систем массового обслуживания(магазины, больницы). Каждая СМО состоит из определ. числа обслуж-щих ед-ц (приборы, устройства), кот. наз. каналами обслуживания. По числу каналов обслуж-я СМО подразделяются: одноканальные и многоканальные. Заявки в СМО поступают неравномерно, а случайно, образуя т.наз. случ-й поток заявок. Поэтому предметом теории МО является построение ММ, кот. связ. заданные усл. работы с-мы с пок-ми эфф-ти СМО, кот. описывают ее спос-ть справляться с потоком заявок. В качестве пок-лей эфф-ти СМО использ:

1. ср. число заявок, облуж-х в ед. времени(интенс-ть потока заявок)

2. ср. число заявок в очередь

3. ср. время ожидания обслуж-ния

4. вер-ть отказа в обслуж-нии без ожидания

5. вер-ть того, что число заявок в очереди превысит опред. знач-е

СМО делят на 2 основных типа

1. СМО с отказами

2. СМО с ожиданиями (с очередью)

В общ. Виде СМО:

Вход.поток==очередь==каналы обслуж.==выход.поток

СМО делят на 2 осн-х типа: СМО с отказами и с ожиданием. В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание. СМО с ожиданием подразделяется на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т.п.

. Понятие потока событий. Простейший поток

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).

Поток характеризуется интенсивностью Я — частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.

Поток событий называется стационарным, если вероятность появления m событий на любом промежутке времени зависит только от числа m и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися.

Интенсивность стационарного потока есть величина постоянная ///////.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени t₁ и t₂ — число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени //// двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.

Название "простейшим" объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание. Заметим, что регулярный поток не является "простейшим", так как он обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафик­сированы.

Оказывается, что для простейшего потока число т событий (точек), попадающих на произвольный участок времени /// распределено по закону Пуассона

//////

Итак, формула Пуассона является математической моделью простейшего потока событий.

. Уравнения Колмогорова

Для того, чтобы записать уравнение Колмогорова i-го состояния, следует в левой

части уравнения записать производную ////. В правой части уравнения записывается сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков минус суммарная интенсивность всех потоков, которые выводят систему из этого состояния, умноженная на вероятность Р_i (t)-го состояния.

Таким образом, каждому состоянию S₀, S₁, S₂ соответствует линейное дифференциальное уравнение, а для всех состояний получим (в нашем примере) три дифференциальных уравнения с тремя неизвестными.

Для того чтобы решить эту систему одно из ДУ можно отбросить и вместо него записать алгебраическое уравнение р₀(t) + р₁(t)+ р₂(t) = 1

Для того чтобы найти частное решение системы ДУ нам нужно иметь начальные условия. Частное решение показывает нам в каком состоянии находится устройство в определенный момент времени. Так если мы знаем, что в момент времени t= 0 система находится в состоянии S_i, то начальные условия имеют вид: P_i(0)=1, P_j(0)=0, i≠j

Т.о. Уравнения Колмогорова дают возможность найти вероятности состояний как функции времени. Но следует заметить, что если уравнений больше 3-х, то аналитическое решение системы найти сложно!

Поэтому особый интерес представляют вероятности системы Р_i (t) в предельном

стационарном режиме, т.е. при t→∞ которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность Р_i (t) состояния S_i имеет четкий смысл: она показывает среднее

относительное время пребывания системы в этом состоянии. Предельные вероятности постоянны! Не меняются со временем.

Например, если предельная вероятность состояния S₀ равна р₀=0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S ₀.

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описы­вающих стационарный режим.

Решив эту систему, найдем финальные вероятности.

. Процессы гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рисунке:

???????

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S₀ , S₁ …S_k. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния S_k возможны переходы только либо в состояние S_k-1 либо в состояние S_k+1.

При анализе численности популяций считают, что состояние S_k соответствует численности популяции, равной k , и переход системы из состояния S_k в состояние S_k+1 происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние S_k-1— при гибели одного члена попу­ляции.

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями /////// или / ///////.

По графу, представленному на рис., составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с правилом составления таких уравнений получим: для состояния Sо:

////////////////

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить систему уравнений.

Решая систему получим р_0, р_1….. р_n:

////////////////////

/////////////////

///////////////

////////////////////

Легко заметить, что в последних формулах для р_0, р_1….. р_n коэффициенты при р₀ есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле для р₀. Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния S_k, , а знаменатель - произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния S_k

. СМО с отказами

Рассмотрим работу следующей системы: заявка, поступившая в систему с отказами и ашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему не обслуженной. Предполагается, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам, входящий поток заявок является простейшим, время обслуживания одной заявки t_обсл. распределено по показательному закону.

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

А — абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q — относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой (доля заявок, принятых к обслуживанию);

Р_отк — вероятность отказа, т.е. того что заявка покинет СМО необслуженной;

к — среднее число занятых каналов (для многоканальной системы). Одноканальная система с отказами.

Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с ин­тенсивностью ///. Поток обслуживании имеет интенсивность // - интенсивность обслуживания.

Считаем, что все потоки системы простейшие. Поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом также является простейшим.

Среднее время обслуживания одной заявки:

////////

Найти предельные вероятности состояний системы и показателя ее эффективности. Система S (СМО) имеет два состояния: S0 —канал свободен,

S1 — канал занят.

Размеченный граф состояний представлен на рис.

/////////////////

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид ///////

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие: ро+p1=1

найдем предельные вероятности состояний

////////////

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S₀ (когда канал свободен) и S₁ (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропуск­ную способность Q системы и вероятность отказа Р_отк.

Абсолютную пропускную способность А найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока заявок (т. к. в систему поступает /// заявок в единицу времени, а доля принятых к обслуживанию заявок равна Q).

.Многоканальная система с отказами

Рассмотрим классическую задачу Эрланга.

Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью ///. Поток обслуживании имеет интенсивность ///. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе):

S₀ , S₁ …S_k , S_k где — состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис.

////////////////////////////////////////////////

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью ///. Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S₂ (два канала заняты), то она может перейти в состояние S₁ (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2///. Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S₃ (три канала заняты) в S₂ будет иметь интенсивность 3////, т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

В формуле для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

////////////////////

где члены разложения ///////////// представляют собой коэффициенты при р₀ в выражениях

для предельных вероятностей p₁…..p_n,.

Величина //////// называется интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

////////////////////////////

Формулы для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания-

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все п каналов системы будут заняты, т.е.

///////////////////////////////

Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена:

///////////////////////////

Абсолютная пропускная способность:

//////////////////////////////////

Среднее число занятых каналов можно найти, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы А есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем ///// заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

/////////////////////