4. Парная корреляция. Линейный коэффициент корреляции и парный коэффициент детерминации. Проверка значимости коэффициента корреляции.

Парная корреляция –это связь между 2 признаками (результативным y и факторным x или 2 факторными).

Соотношение y_i=β₀+β₁x_i+ε_i наз. теоретическим уравнением регрессии. x_i значения независимой переменной в i-ом наблюдении. Y_i значения зависимой переменной в i-ом наблюдении,I= 1,n. β₀, β₁ теоретические параметры регрессии. ε_i-случайное отклонение.

Эмпирическое уравнение линейной регрессии по выборке ограниченного объема может построить эмпирическое уравнение регрессии: ^y_i=b₀+b₁x_i+e_i. x_i значения независимой переменной в i-ом наблюдении. ^y_i оценка условного мат. ожидания. b₀, b₁ оценки неизвестных параметров, сл-ноβ₀, β₁эмпирические коэфф-ты отклонения регрессии. ε_i- оценка теоретического случайного отклонения

Коэффициент парной корреляции исп-ся в кач-вемеры, характ-щей степень линейной связи 2 переменных. Он предст. собой ковариацию 2 наборов данных, деленную на произведение их стандартных отклонений. Значения от -1 до +1. Если r> 0, то корр. связь явл. прямой, если r> 0, то обратной. Если r = ±1 корр. Связь предст. линейной функц. зависимостью. При r = 0 корр. связь отсутствует.

Вычисляется по формуле: r_xiy = b_i∙σ_xi/σ_y, где σ_xi=корень (∑(x_i - x̅)²/n), σ_y= корень (∑(y_i - y̅)²/n).

Коэффициент детерминации – характеризует долю дисперсии, объясняемую регрессию в общей дисперсии результ. признака.D = r².

5 Парная линейная регрессия. Оценка коэффициентов корреляции.Коэффициент эластичности.

Оценка коэффициентов корреляции проводиться с помощью МНК, Фишера (вопросы 8, 9), Стьюдента. Критерий Стьюдента: для проверки о ст. значимости коэффициента регрессии, т.е. гипотезы Н₀:b₁=0,Н₁:b₁≠0 используется t-статистика: t= b₁/S_b1. S_b1станд. ошибка коэфф-та регрессии, кот. При выполнении исходных предпосылок модели имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы ν=n-2. Гипотеза Н₀ отклоняется, если |t_расч|>= t_табл= t_α;т-1. α – требуемый уровень значимости. При отклонении H₀ коэффициент эластичности является статистически значимым.

Выборочный коэффициент регрессии y по x - показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная y при увеличенииx на 1 единицу. Коэффициент эластичности – показывает, на сколько % в среднем изменяется переменная y при увеличенииx на 1 %. Э_yx=b₁∙x̅/y̅.

6. Предпосылки мнк ( условия Гаусса-Маркова).

Самый распространенный и теоретически обоснованный является МНК нахождения коэффициентов b₀и b₁уравнения линейной регрессии. Требуется минимизировать функцию:

S (b₀,b₁) = ∑e²=∑(y_i-^y_i)²=∑(y_i-b₀-b₁x_i)².

Функция S явл. квадратной функцией 2 параметров b₀и b_1. (S>0)

Система нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

nb₀+b₁∑x_i=∑y_i

b₀∑x_i+ b₁∑x_i^2=∑x_iy_i

Предпосылки МНК:

1. Зависимая переменная y_i есть величина случайная, а объясняющая переменная x_iвеличина неслучайная

2. Матем. ожидание ε_i=0: M(ε̅_i)=0.

3. Дисперсия ε_iпостоянна для любого i: D (ε_i)=σ²

4. Отклонение ε_iи ε_j не связаны: М(ε_i)=0 при i≠jМ(ε_i) ≠М(ε_j)

5. Отклонение ε_iэто нормально распределенная СВ.