4.3. Регрессионные модели с автокоррелированными остатками
4.3.1.Общая схема мнк в случае автокорреляции первого порядка
Чаще других при построении прогнозных моделей регрессии используются данные, представляющие собой временные ряды. В случае временных рядов нарушение условия 3b) состоит в том, что случайные остатки коррелируют между собой и, следовательно, матрица становится недиагональной. Поэтому рассмотренный выше метод взвешенных наименьших квадратов к данной ситуации не применим, т.е. возникает необходимость в применении другого варианта обобщенной схемы МНК, отличного от случая гетероскедастичности. Начнем с рассмотрения простейшего случая, когда зависимость между остатками , выражается автокорреляцией первого порядка, т.е.
, (4.92)
где , а – случайная величина, удовлетворяющая условиям классической регрессии
, . (4.93)
Кроме того, будем считать, что соотношение (4.92) справедливо для любого t ().
Учитывая свойства случайной составляющей , описываемые соотношениями (4.93), вычислим основные ее числовые характеристики и . Для этого представим случайную величину в виде бесконечного ряда
. (4.94)
Используя полученное представление и свойство (4.93), получаем
, (4.95)
. (4.96)
При вычислении дисперсии было учтено, что между собой независимы и поэтому математические ожидания произведений при равны 0.
Чтобы вычислить ковариационную матрицу, вычислим произведение при произвольном , используя формулу (3.4). Для этого предварительно первый сомножитель представим в виде двух слагаемых.
. (4.97)
Произведение первого слагаемого и второго сомножителя равно 0 в силу того, что , т.е.
. (4.98)
Таким образом, если снова учесть, что независимы, то ковариация между и будет равна
, (4.99)
где дисперсия определяется соотношением (4.96).
Мы получили представление о структуре ковариационной матрицы случайной составляющей модели с автокоррелированными остатками. Выражение (4.96) задает ее диагональные элементы, а (4.98) – внедиагональные элементы ковариационной матрицы.
Обобщая проведенные исследования, можно записать условия, в которых строится регрессионная модель с автокоррелированными остатками:
-
Спецификация .
-
– детерминированная матрица с рангом .
3а. . 3b. .
Для удобства изложения материала введем обозначение
. (4.100)
Матрица симметрична и положительно определена (, -произвольный ненулевой вектор). Так как по определению коэффициент корреляции между остатками равен
, (4.101)
то можно сделать вывод о том, что в линейной модели с автокоррелированными остатками в такой математической форме реализована идея ослабления корреляционной связи между регрессионными остатками по мере их взаимного удаления во времени.
Так как в дальнейшем потребуется , то приведем ее общий вид
. (4.102)
Зная обратную матрицу (4.102), можно записать, используя схему обобщенного МНК, формулу для вычисления оптимальных оценок в классе несмещенных в следующем виде:
. (4.103)
Так как по условию симметрична и положительно определена, то и также симметрична и положительно определена. Следовательно, ее можно представить как
, (4.104)
где – диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят собственные значения матрицы , а – ортогональная матрица, столбцы которой представляют собой собственные вектора , т.е. .
Поскольку положительно определенная матрица, ее собственные числа положительные и, следовательно, можно определить дробную степень в виде
, (4.105)
где – диагональная матрица с элементами по главной диагонали.
Введение дробной степени позволяет представить матрицу в виде произведения двух матриц
. (4.106)
Такое представление позволяет записать формулу обобщенного МНК в виде:
, (4.107)
где , .
Для рассматриваемого случая матрица может быть записана следующим образом:
. (4.108)
Преобразование данных с помощью этой матрицы приводит к следующим результатам:
; (4.109)
. (4.110)
Таким образом, если известно, что между остатками наблюдается автокорреляция и известен параметр , то после преобразования данных в соответствии с (4.109), (4.110) для оценки параметров регрессии можно применить обычный МНК, который, по сути, является частным случаем обобщенной схемы МНК.
Следовательно, чтобы принять решение о методе построения регрессионного уравнения по данным временных рядов, необходимо сначала установить наличие автокорреляции в остатках, а затем получить оценку параметра .