25. Плотность распр. Вер. Непрерывной св и ее св-ва.
Ф-ция
распр. вер-тей непрерывной СВ (НСВ) дает
полную вер-ную хар-ку ее поведения.
Однако задание НСВ с пом. ф-ции распр.
не является единственным. Ее можно
задать с пом. др. ф-ции, кот. называется
дифференциальной ф-цией распр. или
плотностью распр. вер-тей. Пусть X
– НСВ с интегральной ф-цией распр. F(x).
F(x)
непрерывна и дифференцируема в исследуемом
интервале. Рассмотрим вер. попадания
знач. СВ в интервал (x;
x+x).
P(x<X<x+x)
= F(x+x)
– F(x),
т.е. вер. равна приращению ф-ции на этом
участке. Определим теперь вер., кот.
приходится на единицу длины рассматриваемого
участка. Для этого разделим обе части
последнего рав-ва на x:
=
Перейдем к пределу
=
;
лев часть равна =
;
=
f(x).
Опр.:
Дифференц. ф-цией распр. или плотностью
распр. вер. называется 1-ая производная
от интегральной ф-ции распр. Замечание:
Для хар-ки распр. вер. ДСВ дифференц.
ф-ция распр. неприменима. Основные
св-ва дифференц. ф-ции распр.:
1) Для
f(x)
неотрицательна, т.е. f(x)
0.
Док-во:
Следует из определения ф-ции плотности
F(x)
– неубыв. ф-ция, значит ее производная
неотрицательна, т.е. F’(x)
= f(x)
0;
2) Для дифференциальной ф-ции распр.
имеет место равенство P(<X<)
=
.
Док-во:
Т.к. ф-ция F(x)
явл. первообразной для функц. f(x),
то из формулы (
)
= F()-F()
и формулы Ньютона-Лейбница вытекает
вер. того, что P(<X<)
= F()-F()
=
;
3)Для дифференц. ф-ции распр. имеет место
рав-во:
=1.
Док-во:
Согласно опр. несобств. интеграла по
бескон. пределам и 3-му св-ву ф-ции распр.
имеем
=
+
=
+
=
+
=
+
=0+1=1;
4) Для интегр. и дифференц. ф-ции распр.
имеет место рав-во: F(x)
=
.
Док-во:
=
=
=
F(x)
-
=
F(x)-0=F(x).
Замечание:
Если СВ Х принимает значение только в
некот. интервале (,),
то
=1.
26. Вер. Попадания св в заданный интервал.
Вер. попадания СВ Х в задан. интервал [,)
равна
приращению ее ф-ции распр. на этом
интервале, т.е. вер. того, что P(
)=
F()
- F().
Эта формула следует из формулы F(х2)=F(х1)+
P(
)
– вопрос №24, если вместо точек х1,
2
взять точки
и .
Cв-во
: Вер.
любого отдельного знач. НСВ равна 0.
Док-во:
Воспользуемся рав-вом P(
)=
F()
- F()
и устремим
к .
().
Тогда получим
=
.
В левой части посл. рав-ва в пределе
вместо вер. попадания знач. СВ в интервал
[,)
получим вер. того, что СВ приняла отдельно
взятое значение ,
т.е. P(X=).
Значение предела в правой части рав-ва
зависит от того, явл. ли ф-ция F(x)
непрерывной в точке
или имеет в ней разрыв. Если ф-ция имеет
разрыв, то предел равен величине скачка
ф-ции F(x)
в точке .
Т.к. по предположению ф-ция F(x)
всюду непрерывна, то
= F()
- F()
= 0. Т.о.
=
= P(X=)=0.
При непрерывн. распр. вер-тей, т.е. когда
ф-ция распр. непрерывна, вер. попадания
знач. НСВ на сколь угодно малый участок
отлична от 0, тогда как вер. попадания в
строго опр. точку равна 0. Воспользовавшись
последним св-вом, докажем, что для НСВ
выполняются след. рав-ва: Р(
)
=
=
=
.
Докажем одно из соотношений. Соб.
представл. собой сумму 2-ух несовместн.
соб. X=
и
.
Тогда по теор. слож. вер. имеем Р(
)
= P(X=)
+
.
Согласно посл. св-ву P(X=)=0,
тогда P(X=)
+
=
= F()
- F().
Сл-но
=
F()
- F().