7.Вычисление вер. С использованием комбинаторных схем

Комбинаторика — это область математики, в кот. изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций подчиненных тем или иным условиям можно составить из заданных объектов. Существует 2 правила, кот. применяются при решении комбинаторных задач: 1) правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары АВ можно осуществить m*n способами; 2) правило суммы. Если некоторый объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.

Выделяют 3 типа выборок.1.Размещения. Если одна выборка отличается от другой порядком следования эл-тов и составом эл-тов, то они называются размещениями. Их число находится по формуле: _n^m = n!/(n-m)!; размещение с повторениями: Ᾱ_n^m=n^m

2.Перестановки.Если одна выборка отличается от другой только порядком следования эл-тов, то такие выборки называются перестановками. P_n=n!;

перестановки с повторением: =(k₁+k₂+…+k_n)! / k₁!k₂!…k_n!. k_i – число повторяющихся элементов каждого вида.

3.Сочетания. Если одна выборка отличается от другой составом эл-тов, но не важен порядок следования эл., то такие выборки называются сочетаниями. C_n^m=n! / m!(n-m)!; сочетание с повторением: =(n+m-1)! / m!(n-1)!

8.Понятие об алгебре событий

Построим матем. модель, в кот. учитывались бы все возможные исходы эксперимента. Пусть Ω – производное пространство элементарных событий, а F – некоторый класс подмнож-в множества Ω. Класс подмнож-в F называется алгеброй событий, если выполняются следующ. условия: 1)ΩF; 2)ABF, ABF, A-BF; A,BF; 3)AF, тогда ĀF.

Если задано множ-во  и какая-нибудь -алгебра F, то говорят, что задано измеримое пространство(обозначается ,F). Для того, чтобы формализовать какую-нибудь вероятностн. задачу, надо соотв. эксперименту приписать измеримое пространство ,F, где  обозначает множ-во элементарных исходов эксперимента, а -алгебра F определяет класс событий, среди кот. находятся и интересующие.

9.Аксиомы Колмогорова

Числовая ф-ция Р, определенная на классе событий, F называется вер.ю, если выполняются следующие условия: Аксиома 1. F является алгеброй событий; Аксиома 2. Р(А)0 для любого АF; Аксиома 3. Р()=1; Аксиома 4. Если А,В – несовместные события, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Для решения задач, связанных с бесконечн. последовательностями событий, требуется дополнить приведен. аксиомы следующ. аксиомой непрерывности: Аксиома 5. Для любой убывающей последоват-и событий из F такой, что произведение этих событий есть невозм. событие, справедливо равенство: lim(при x→∞) P(A_n)=0, т.е. А₁А₂…А_n…A_iF, ; .Эти аксиомы называются аксиомами Колмогорова. Система приведенных аксиом не противоречива.

10.Понятие вероятностного пространства

Тройку(, F, P), в кот. Р удовлетворяет аксиомам Kолмогорова 2-5, а F является σ-алгебр. событий, называют вероятностным простр-вом. Из определения вероятности вытекают след. св-ва вероятности на этом простр-ве: 1) P()=0, вер. невозможного события; 2) P(Ā)=1-P(A); 3) Если AB, то P(A)P(B); 4) 0P(A) 1; 5) P(A+B) =P(A)+P(B)-P(AB); 6) P(A+B) P(A)+P(B).

11.Теорема сложения вер. для несовместных событий.

Пусть события А и В несовместны, причем вероятности этих событий известны. Теорема: Вер. появления одного из 2-ух несовместн. Событий (безразлично какого) равна сумме вер. этих событий, т.е. P(A+B) = P(A)+P(B). Док-во: Пусть n – число возм. элементарных исходов (Э.И.) испытания. m₁ – число исходов, благоприятствующих соб. А; m₂ – число исходов, благоприятств. соб. В. Тогда P(A)=m₁/n; P(B)=m₂/n. Т.к события А и В несовместны, то нет таких исходов, кот. благоприятствовали бы одновремен. и соб. А, и соб. В. Поэтому соб. А+В благоприятствует m₁+m₂ Э.И. испытания. Тогда P(A+B)=(m₁+m₂)/n=m₁/n+m₂/n=P(A)+P(B). Следствие: Вер. появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вер. этих событий, т.е. P(A₁+A₂+…+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n) или P(_i)=

Теорема: Сумма вер. событий А₁, А₂…А_n, образующих полную группу равна 1, т.е. P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)=1. Док-во: Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вер. достоверн. события равна 1, то P(A₁+A₂+…+A_n)=1. Любые 2 события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: P(A₁+A₂+…+A_n)= P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)

Теорема: Сумма вер-тей противоположных событий(П.С.) равна 1, т.е. P(A)+P(Ā)=1. Док-во: П.С. образуют полную группу, а сумма вер. событий, образующих полную группу равна 1. Замечание: Если вер. одного из П.С. обозначить за p, а вер. другого через q, то предыдущую формулу можно записать в виде: p+q=1.

12.Теорема сложения вер. для совместных событий

Опр.: События А и В назыв. совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании, т.е. есть элементарные события, входящие и в соб. А, и в соб. В. Теорема: Вер. появления хотя бы 1 из 2-ух совместных событий равна сумме вер. этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Док-во: Пусть в рез-те опыта возможны N равновозможных исходов. (сделать рис с кружками) Пусть далее соб. А благоприятствует М исходов, а соб. В - К исходов. События А и В совместны, поэтому часть указан. исходов благоприятствует и соб. А, и соб. В. Предположим, что таких исходов L, тогда P(A)=M/N, P(B)=K/N, P(AB)=L/N. Соб. А+В заключается либо в наступлении соб. А, либо соб. В, либо соб. АВ, поэтому ему будет благоприятствовать M+K-L исходов. (сделать рис) Тогда P(A+B)=(M+K-L)/N=M/N+K/N-L/N. Вер. суммы 3-ёх совместных событий вычисляются по формуле: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)