55. Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.

Проверяя гипотезы (Г.) с помощью стат. критерия, может возникнуть одна из четырех ситуаций: 1) Г. H₀ истинна (и поэтому H₁ – ложна) и предпринимается действие А; 2) Г. H₁ истинна (и поэтому H₀ – ложна) и предпринимается действие А; 3) ) Г. H₀ истинна (и поэтому H₁ – ложна) и предпринимается действие В; 4) Г. H₁ истинна (и поэтому H₀ – ложна) и предпринимается действие В. В ситуациях 2 и 3 получается ошибка. Существует 2 типа ошибок. Ошибка, состоящая в принятии Г. H₀, когда она ложна (ошибка второго рода), качественно отличается от ошибки, состоящей в отвержении H₀, когда она истинна (ошибка первого рода). При этом числа α_i = α_i(δ) = P_i(δ(X)≠ H_i), характеризующие вер. отвержения Г. H_i, когда она верна, называют вер-ми ошибок (i+1)-го рода критерия δ. Набором вер. α_i(δ) ошибочных решений хар-ся кач-вом критерия δ. Правильное решение также может быть принято двумя способами (ситуации 1 и 4): когда Г. H₀ принимается, ибо она верна, и когда Г. H₀ отвергается, ибо она ложна. В ситуации 1 не совершается ошибка первого рода, в ситуации 4 – второго рода. Уровень значимости критерия не меняет степени риска, связанного с возможностью ошибки второго рода, т.е. с принятием неверной Г.. И при данном уровне значимости можно по-разному определить критическую область. Как правило, ее определяют так, чтобы мощность критерия 1 – α₁(δ) была возможно большей: P (X] x₁; x₂[|H₁) = max. Мощностью критерия δ называется вер. 1 – α₁(δ) несовершения ошибки второго рода. Чем больше мощность критерия, тем меньше вер. принятия неверной Г.

????Вер. отклонения относит. частоты от постоян. вер. в независим. испытаниях. Будем считать, что производится n независ. испытаний, в кажд. из кот. вер. появл. соб. А постоянна и равна p. Найдем вер. того, что отклонение относит. частоты от постоян вер. p по абсолютн. величине не превышает задан. числа , т.е. найдем вер. осуществления нер-ва: . Заменим дан. нер-во на равносильн. ему нер-во ; . Умножим последн. нер-во на , получим . Воспользуемся интегральн. теоремой Лапл. Положим ,а , тогда имеем вер. того, что P(). Окончательно получаем