47. Вариационный ряд, его хар-ки. Гистограмма. Полигон.

Интервальный стат. ряд распр., представленный графически, назыв. гистограммой(Г), которая строится след. образом. По оси абсцисс откладываются интервалы [x_i;x_i+1[, и на каждом из них строится прямоугольник площадью W_i , т.е. высота h_i= W_i /(x_i+1 - x_i). Из способа построения Г следует, что ее площадь равна 1. В т. вер. Г соответствует график плотности распр. вер.. Если экспериментальный материал описывает реализации дискретной СВ Х, то знач. наблюдений x_i располагают в возрастающем порядке. При этом x_i называют вариантами, а посл-сть вариант, записанных в возраст. порядке, — вариационным рядом. Число появлений наблюдения x_i называют абс. частотой m_i. Знач. наблюдений и соотв. абс. частоты можно записать в виде таблицы, кот. называется стат. рядом распр. или частотной таблицей. Если на плоскости нанести точки (x_i, m_i) и соединить их отрезками прямых линий, то получим полигон частот, который называют еще частотным многоугольником. Если на плоскости нанести точки (x_i, m_i/n) и соединить их отрезками прямых линий, получим полигон относит. частот. Г. и полигон частот выборочного распр. можно использовать для подбора модели распр. изучаемой случайной вел-ны Х.

48. Эмпирическая ф-ция распределения и ее св-ва.

Опр.: эмпирической ф-цией распр. называется относ. частота события {X<x} в данной выборке знач. СВ Х, т.е. (x) = P(X<x) = m_x/n, где m_x – число x_i, меньших х; n – объем выборки. Вел-на n (x) равна числу элементов выборки, которые меньше х. Из т. Бернулли следует, что эмпирическая ф-ция (x) при увеличении n (n→∞) сходится по вероятности к подлинной ф-ции распр. F(x). Поэтому (x) используется для оценки ф-ции распр. F(x). Св-ва эмпирической ф-ции распр.: 1) Знач. эмпирич. ф-ции распр. принадлежат отрезку [0;1]; 2) Эмпирич. ф-ция распр. (x) – неубывающая ф-ция; 3) Если x< x₁, где x₁ – наименьшее наблюденное значение, то (x) = 0; при x> x_n, где x_n – наибольшее наблюденное значение, (x) = 1. Эти св-ва следуют из определения эмпирической ф-ции распр..

49. Числовые хар-ки выборочного распр.: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.

В этом вопр вмето S надо сигма  ???

Пусть случ. эксперимент описывается СВ Х.

Повторяя случ. эксперимент n раз, получим посл-сть наблюденных знач. x1, x2, …, xn СВ Х, называемых выборкой из ген. сов-сти Ωx, описываемой ф-цией распр. F(x). Опр.: Выборочным средним наблюденных знач. выборки назыв. вел-на, определяемая по формуле , где xi – наблюденное значение с частотой mi, n – число наблюдений, . Частоты mi могут быть равны 1, i = , тогда k=n. Опр.: Стат. дисперсией выборочного распр. назыв. среднее арифметическое квадратов отклонений знач. наблюдений от средней арифметической , т.е. , где xi – наблюденное значение с частотой mi', , n – число наблюдений. В кач-ве числовой хар-ки выборки так же применяется медиана. Чтобы вычислить ее все наблюдения располагают в порядке возрастания или убывания. При этом, если число вариант нечетно, т.е. 2m+1, то медианой является m+1 варианта (); если же число вариант четное, то медиана равна среднему арифметическому двух средних знач.: = (xm+xm+1)/2. Хар-ка ассиметрии выборочного распр. вычисляется по формуле , а эксцесс выборочного распр. определяется характеристикой . Обобщающими хар-ками выборочных распр. являются стат. моменты распр.. Начальные стат. моменты k-того порядка: . Тогда: при k =0 M0 = (mi/n) = 1; при k =1 M1 = ( mi/n) = ; при k =2 M2 = ( mi/n) = 2; при k =3 M3 = ( mi/n) = 3; при k =4 M4 = ( mi/n) = 4 и т.д. Практически используются моменты первых четырех порядков. Центр. стат. моменты k-того порядка: . Тогда: при k =0 =1; при k =1 =0; при k =2 - стат. дисперсия; при k =3 ; при k =4 и т.д. Отметим, что центр. стат. момент 3-его порядка служит мерой ассиметрии распр. выборки. Если распр. симметрично, то . На практике моменты порядка выше четвертого почти не применяются, т.к. обладают очень высокой дисперсией и их сколько-нибудь надежное опр. потребовало бы выборок большого объема.

50. Понятие оценки параметра. Св-ва оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность.

Пусть требуется подобрать распр. для исследуемой СВ Х по выборке x₁, x₂, …, x_n , извлеченной из ген. сов-сти Ω_x с неизвестной ф-цией распр. F(x). Выбрав распр., исходя из анализа выборки, мы по данным выборки должны оценить параметры соотв. распр.. Например, для нормального распр. можно опр. параметры m и σ; для распр. Пуассона — параметр λ и т.д. Решение вопросов о «наилучшей» оценке неизвестного параметра и составляет теорию стат. оценивания. Выборочная числовая хар-ка, применяемая для получения оценки неизвестного параметра ген. сово-сти, называется оценкой параметра. Например, Х – среднее арифм. может служить оценкой мат. ожидания M(X) ген. сов-сти Ω_x. В принципе для неизвестного параметра a может существовать много числовых хар-ик выборки, которые вполне подходящи для того, чтобы служить оценками. Например, среднее арифметическое, медиана, мода могут показаться вполне приемлемыми для оценивания мат. ожидания M(X) сово-сти. Чтобы решить, какая из статистик в данном мн-ве наилучшая, необходимо определить некоторые желаемые св-ва таких оценок, т.е. указать условия, которым должны удовлетворять оценки. Опр.: Если M() =a, то называется несмещенной оценкой а. В других случаях говорят, что оценка смещена. Если существует больше одной несмещенной оценки, то выбирают более эффективную оценку, т.е. ту, для которой вел-на второго момента M( - а)² меньше. Опр.: Оценка ₁ называется более эффективной, чем оценка ₂, если M(₁ - а)² <M(₂ - а)² . При использовании той или иной оценки желательно, чтобы точность оценивания увеличилась с возрастанием объема производимой выборки. Предельная точность будет достигнута в том случае, когда численное знач. оценки совпадает со знач. параметра при неограниченном увеличении объема выборки. Такие оценки будем называть состоятельными. Опр.: Оценка называется состоятельной оценкой а, если при n→∞ она сходится по вероятности к а.