44. Понятие центральной предельной теоремы.

При суммировании достаточно большого числа СВ закон распр. суммы неограниченно приближается к нормальному при соблюдении нек. условий. Эти усл., которые мат. можно сформулировать разл. образом – в более или менее общем виде, - по существу сводятся к требованию, чтобы влияние на сумму отд. слагаемых было равномерно малым, т.е. чтобы в состав суммы не входили члены, явно преобладающие над совокупностью остальных по своему влиянию на рассеивание суммы. Различные формы центральной предельной теоремы(ЦПТ) различаются между собой теми условиями, для кот. устанавливается это предельное св-во суммы СВ. В ЦПТ рассматриваются законы распр. случ. величин. Согласно ЦПТ, закон распр. суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму, сколь угодно близко к нормальному. В практических задачах ЦПТ часто используют для вычисления вер. того, что сумма нескольких СВ окажется в заданных пределах. Пусть Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые СВ с мат. ожиданиями m₁, m₂, …,m_n и дисперсиями D₁, D₂, …, D_n. Предположим, что условия ЦПТ выполнены (вел-ны Х₁, Х₂, …, Х_n сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы) и число слагаемых n достаточно для того, чтобы закон распр. вел-ны можно было считать приближенно нормальным. Тогда вер. того, что СВ Y попадает в пределы участка (α, β), выражается формулой P(α <Y<β)= - формула (1), где m_y, σ_y – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение вел-ны Y, Φ^* – нормальная ф-ция распр..

Заметим, что ЦПТ может применяться не только к непрерывным, но и к дискретным СВ при усл., что мы будем оперировать не плотностями, а ф-циями распр.. Действительно, если вел-ны Х₁, Х₂, …, Х_n дискретны, то их сумма Х – также дискретная СВ и поэтому, строго говоря не может подчиняться нормальному закону. Однако все формулы типа формулы (1) остаются в силе, так как в них фигурируют не плотности, а ф-ции распр. Частным случаем ЦПТ для ДСВ является теорема Лапласа.

45. Понятие о теореме Ляпунова.

Если Х1, Х2, …, Хn,… - независимые случ. вел-ны, имеющие один и тот же закон распр. с мат. ожиданием m и дисперсией σ 2, то при неограниченном увеличении n закон распр. суммы неограниченно приближается к нормальному. Док-во: Приведем док-во для случая непрерывных СВ Х1, Х2, …, Хn, кот. имеют один и тот же закон распр. с плотностью f(x) и, следовательно, одну и ту же характеристическую функцию - формула (1). (Характеристической ф-цией СВ Х называется ф-ция g(t)=M[eitx], где i – мнимая единица). Исследуем более подробно функцию gx(t). gx(t) = gx(0) + g'x(0)t + [g''x(0)/2+α(t)]t2, где α(t)→0 при t→0 – формула (2). Найдем вел-ны gx(0), g'x(0), g''x(0). Полагая в формуле (1) t=0, имеем: gx(0) =. Продифференцируем формулу (1) по t: g'x(0) = - формула (3). Полагая, что в формуле (3) t=0, имеем: g'x(0) = i = iM[X] = im. Продифференцируем формулу (3): g''x(t) = , отсюда g''x(0) = - формула (4). При m=0 интеграл в выражении (4) есть не что иное, как дисперсия вел-ны Х с плотностью f(x), следоват-но: g''x(0) = — σ 2. Подставляя в формулу (2) gx(0) = 1, g'x(0) = 0, g''x(0) = — σ 2, получим: gx(t) = 1 – [σ 2/2 - α(t)]t2 – формула (5). Обратимся к СВ Yn. Мы хотим доказать, что ее закон распр. при увеличении n приближается к нормальному. Для этого перейдем от вел-ны Yn к другой СВ: - формула (6). Эта вел-на удобна тем, что ее дисперсия не зависит от n и равна 1 при любом n. Если мы докажем, что закон распр. вел-ны Zn приближается к нормальному, то, очевидно, это будет справедливо и для вел-ны Yn, связанной с Zn линейной зависимостью. Из формулы (6): gzn(t)=gyn(t/σ), где gyn(t) – характеристическая ф-ция СВ Yn. Из формулы (5): gzn(t) = {1- [σ 2/2 – α(t/σ)] (t2 /n σ 2)}n. Прологарифмируем это выражение: ln gzn(t) =n ln {1- [σ 2/2 – α(t/σ)] (t2 /n σ 2)}. Введем обозначение [σ 2/2 – α(t/σ)] (t2 /n σ 2) = χ. Тогда ln gzn(t) =n ln{1- χ}. Будем неограниченно увеличивать n. При этом вел-на χ стремится к 0. Разложим ln{1- χ} в ряд и ограничимся одним членом разложения: ln{1- χ} = — χ. Тогда получим ln gzn(t) = n(— χ) = { - t 2/2 + α(t/σ)] (t2 / σ 2)} = - t 2/2 + (t2 / σ 2) α(t/σ). Ф-ция α(t) стремится к 0 при t→0; значит α(t/σ) = 0 и ln gzn(t) = (- t 2/2), откуда gzn(t) = . Это есть не что иное, как характеристическая ф-ция нормального закона с параметрами m=0, σ =1. Т.о. доказано, что при увеличении n характирестич. ф-ция СВ Zn неограниченно приближается к характ. ф-ции нормального закона; отсюда – закон распр. вел-ны Zn, а значит и вел-ны Yn, неограниченно приближается к нормальн. закону. Теорема доказана.