Ценообразование кредитного риска с риском дефолта одной из сторон

Пусть Х(Т) – обещанная к выплате сумма долга, выплачиваемая по опциону европейского типа в момент Т. Если фирма – должник остается платежеспособной до момента Т включительно, то она выплачивает держателю опциона сумму Х(Т). Если в момент t<T наступает дефолт по платежам, то держатель опциона получает только часть от обещанного количества Х(Т). В этом случае размер выплаты зависит от текущей стоимости активов и обязательств. Пусть, как и ранее, V(t) – стоимость активов заемщика. Кроме того, пусть D(t) – стоимость обязательств фирмы. Тогда в случае банкротства фирма выплачивает банку следующую часть Х(Т):

.

Дробь называют скорость восстановления активов фирмы, или соотношением единицы активов на единицу долга. Чем ближе оно к нулю, тем быстрее фирма станет банкротом.

Обозначим . Тогда сумма выплаты Х^d по опциону кредитного риска может быть представлена в общем виде как:

(*)

где - индексное множество, - момент дефолта.

Из (*) видно, что при банкротстве в момент τ>T банк получает Х(Т) (момент банкротства не влияет в этом случае на выплаты), а при τ≤Т выплачивается часть долга δ(T)X(T).

Заметим, что в случае δ(T)>1, или при V(T)>D(T), долг Х(Т) будет полностью погашен, даже если наступит дефолт по обязательствам. Если V(T)<D(T), то долг оплачивается с коэффициентом пропорциональности δ(T). Поэтому равенство (*) эквивалентно следующему выражению:

Мы знаем, что цена опциона европейского типа C(t) с функцией выплаты f(T) находится по формуле:

,

где Е^* - риск – нейтральное математическое ожидание, B_t=B₀e^rT≡1 – цена облигации с безрисковой процентной ставкой (единица капитала), F_t – фильтрация.

В нашем случае выплата f(T)=X^d(T), поэтому

(3)

(не забыть вывести уравнение Б - Ш для vulnerable option).

Теорема 1 (о цене опциона покупателя кредитного риска или незащищенного опциона, vulnerable):

Пусть Х(Т) – цена незащищенного опциона с функцией выплаты X_T=(S_T – Е)⁺ и выплачиваемой в действительности суммой X_T= δ(T)(S_T – Е)⁺. Тогда в случае банкротства:

, где , D-размер долга, E – цена исполнения опциона,

, , ,

- двумерная функция распределения нормальной СВ.

Доказательство теоремы громоздко и основано на непосредственном вычислении математического ожидания в (3).

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение, соответствующее незащищенному опциону с функцией выплаты (3). Очевидно, , то есть является функцией переменных S,V, t.

Пусть S,V – процессы Ито, то есть:

Применим двумерную формулу Ито к . Имеем:

. Так как

, то окончательно имеем:

(4)

По аналогии с идеей Блэка – Шоулса, составим хеджирующий портфель, чтобы избавиться от стохастической части в (4). Пусть Н – хеджирующий портфель, H=F-∆₁V-∆₂S, или, как при ∆ - хеджировании, . Тогда , подставляя которое в (4), имеем:

. (5)

Изменения в хеджирующем портфеле зависят теперь только от dt, он безрисковый и, как альтернатива, его можно инвестировать под ставку r. Тогда dH = rHdt, или так как . Поэтому в (5):

.

Окончательно,

(6)

Это 2d уравнение Блэка – Шоулса, где F = X^d(t), которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением для стохастической волатильности.

Замечание: При δ(t)≡1 для каждого tЄ[0,T] весь долг обеспечен суммой активов V_t. Поэтому цена незащищенного опциона Х^d(t) будет равна цене опциона без кредитного риска, то есть обычного опциона покупателя. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить δ=1 в формулировку теоремы 1 о цене незащищенного опциона. При δ=1 формула расчета цены превращается в формулу Блэка – Шоулса. (Доказать самим)