Дифференцирование оригиналов и изображений
Теорема о дифференцировании оригинала Пусть оригинал f(t) и его производная f `(t) имеют одинаковый показатель роста s0 , тогда их изображения имеют простую алгебраическую связь
f `(t) =: p F(p) - f(0) ( 7 )
Доказательство.
f
`(t)
=:
=
=
=
=
[
f(t)e-pt
|0b
+ p
] = p
F(p)
- f(0)
+
f(b)
e-pb,
но последнее слагаемое обращается в 0 , т.к. Re p = s > s0 .
Пр.14 Найти изображение cos t с учетом равенства cos t = (sin t)`
cos
t
= (sin t)`
=: p
- sin 0 =
Вычислим изображение 2 производной оригинала по формуле ( 7 )
f ``(t) =: p[ pF(p) - f(0) ] - f `(0) = p2 F(p) – p f(0) – f `(0) ( 8 )
Переходя к производным высших порядков, получаем общую формулу
f(n)(t) =: pn F(p) - pn – 1f(0) - pn – 2f `(0) - . . . - f(n – 1)(0) , Re p > s0 ( 9 )
Теорема о дифференцировании изображения Дифференцирование изображения приводит к оригиналу, который отличается от исходного оригинала только общим множителем - t :
F`(p) =: - t f(t) ( 10 )
К ( 10 ) приводит дифференцирование по p левой и правой части равенства ( 1 ). Повторные дифференцирования дают формулу
.
(
11 )
Пр.15 Найти изображение для t sin at , t cos at , t eat .
Т.к. sin at умножается на t , то достаточно продифференцировать его изображение
t
sin at
=:
- (
)`
=
(
формула
№ 10)
t
cos at
=:
- (
)`
=
(
формула
№ 9)
t
eat
=: - (
)`
=
( формула № 8)
Интегрирование оригиналов и изображений
Теорема об интегрировании оригинала. Интегрирование оригинала приводит к делению изображения на параметр p
=:
F(p)
(
12 )
Доказательство.
Интеграл
удовлетворяет
всем 3 условиям, опреде-ляющим оригинал.
Обозначим
=
Ф(p),
тогда по формуле ( 7 ) имеем
(
)`
= pФ(p)
-
= pФ(p)
,
но интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции и производная от него есть подынтегральная
функция,
т.е.
f(t)
=: pФ(p)
или
Ф(p)
=:
F(p)
.
Пр.16 Найти изображение для f(t) = tn .
Интеграл
от единичной функции
(t)
дает t
. Последующие
интегри-рования приведут к функции tn
/n!
. При каждом интегрировании изображе-ние
F(p)
=
умножится
на
=:
=
;
=
=:
;
=
=:
;
=
=:
В
результате получим формулу № 2 из
таблицы tn
=:
.
Теорема
об интегрировании изображения
Интегрирование изображения от p
до
приводит к делению оригинала на переменную
t
=:
,
( 13 )
где F(z) аналитическая функция.
Свертка функций
Опр.
Сверткой
функций f1(t)
и f2(t)
наз. интеграл от произведения этих
функций
f1(t)*f2(t).
Перестановка функций не меняет значения
свертки.
Теорема о свертке Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений, т.е. если f1(t) =: F1(p), f2(t) =: F2(p) , то
f1(t)*f2(t) =: F1(p) F2(p) ( 14 )
Доказательство.
Обе
части формулы преобразований Лапласа
F1(p)
=
умножим на
F2(p)
:
F1(p)F2(p)
=
.
По теореме запаздывания ( 4 )
=: f2(t
-
)
или
= =
,
где t
>
.
Тогда
F1(p)F2(p)
=
=
=:
,
т.к. при
>
t
f2(t
-
)
= 0 по 10
свойству оригинала.
Пр.17
Найти оригинал изображения
F(p)
=
.
Решение
1. Имеем
произведение изображений двух функций
t
и
eat
. Поэтому
оригинал равен свертке этих функций
f(t)
= t*
eat
=
= t
-
= J1
- J2
,
J1
= t
= t
-
;
J2
=
=
=
=
-
= t
-
+
. Ответ f(t)
=
-
-
.
Решение
2. Представим
изображение в виде суммы простейших
дробей : F(p)
=
=
+
+
,
тогда Ap(p
– a)
+ B(p
– a)
+ Cp2
= 1
p2 | A + C = 0 A = - 1/a2
p1
| -aA
+ B
= 0
B
= -1/a
По формулам № 1, 2, 3 получаем оригинал
p0
| - aB
= 1 C
= 1/a2
f(t)
= -
-
+
