
- •Лекции по математическому анализу.
- •Функции
- •Пусть и Функция удовлетворяет условию (1) и (2), т.К. Всякое вещественное есть куб некоторого вещественного числа и разные вещественные числа имеют разные кубы. Поэтому функция имеет
- •Последовательность.
- •Гиперболические функции.
- •Критерий Коши.
- •Пределы и непрерывность функции. Предел функции в точке
- •Непрерывность функции в точке.
- •Свойства функций, имеющих пределы в данной точке.
- •Свойства функций
- •Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функции в точке.
- •Теорема 6
- •Предел функции на бесконечности.()
- •Бмф и их свойства.
- •Свойства бмф.
- •Теорема по индукции распространяется на любое конечное число слагаемых или сомножителей.
- •Ббф. Их связь с бмф.
- •Две важные теоремы
- •Операции с непрерывными функциями.
- •Приращение аргумента и функции в точке, равносильное определение непрерывности.
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Два замечательных предела.
- •Сравнение б.М.Ф.
- •Теоремы об эквивалентных б.М.
- •Пусть , , - б.М. При причем , - одного порядка; а тогда .
- •Если , то .
- •Свойства функций непрерывных на отрезке. Непрерывность обратной функции.
- •Теорема 4.
- •Точки разрыва функции. Их классификации.
- •Рассмотрим функцию .
- •Асимптоты графика функции.
- •Определение
- •Определение
- •Теорема
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •Основные правила дифференцирования
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная.
- •Правила дифференцирования обратной функции. Теорема
- •Производные основных элементарных функций.
- •Логарифмическое дифференцирование.
- •Дифференцирование неявной функции.
- •Другие типы неопределенностей.
- •Теорема Тейлора.
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.
- •Локальные формулы Тейлора.
- •Теоремы об возрастании и убывании дифференцируемых функций. Экстремумы.
- •Необходимое условие
- •Теорема 3
- •Если f’(X) при переходе через т. X0 сохраняет постоянный знак, то в некоторой окрестности т. X0 функция или возрастает или убывает и поэтому в т. X0
- •Понятие выпуклости графика функции на промежутке.
- •Производная и дифференциал длины дуги.
Операции с непрерывными функциями.
Теорема
Если
функция
и
непрерывны в точке
,
то функции
,
,
так же непрерывны в точке
(в случае частного считаем, что
в некоторой окрестности
).
Докажем
для частного:
где
.
ЛЕКЦИЯ № |
Очевидно,
по определению предела, что
тогда
,
т.е. функция
непрерывна в т.
функция вида
- непрерывна в точке
многочлен
есть непрерывная функция как сумма
непрерывных функций. Тк. Точка
взята произвольно, то заключаем, что
многочлен (целая рациональная функция)
непрерывная функция в каждой точке
числовой оси.
Теорема непрерывности композиции непрерывных функций.
Если
функция
непрерывна в т.
,
а функция
непрерывна в т.
то сложная функция
непрерывна в т.
.
К
условиям теоремы 2 здесь добавляется
непрерывность функции
в т.
.
Учитывая это и применяя теорему 2 имеем
Доказанная теорема, наряду с теоремами 1 и 2 (см. пред. лекцию) систематически используются при вычислении предела непрерывных ункций.
Приращение аргумента и функции в точке, равносильное определение непрерывности.
М
-
приращение аргумента в т.
-
приращение функции в т.
-
приращение значения функции.
Пусть
функция
непрерывна в т.
,
тогда
Таким
образом можно дать определение
непрерывности функции
в т.
в следующей равносильной форме:
Определение
Функция
называется непрерывной в т.
если бесконечно малое приращение
аргумента в т.
вызывает бесконечно малое приращение
функции в этой точке.
Непрерывность элементарных функций.
Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.
Сделаем
на примере
.
Пусть
х –
произвольная фиксированная точка
числовой оси. Рассмотрим приращение
функции в т. х,
т.е.
При
этом использовано неравенство
,
для
Ниже
будет показано, что
при
,
что можно записать также в виде
Это
последнее неравенство не изменится при
замене
на
.
Следовательно при
будет
.
Это последнее неравенство очевидно
верно и при
,
т.к.
,
а
.
Итак получено:
,
что можно записать также в виде
.
Тогда
(использована теорема о двух легавых)
,
т.е.
функция
непрерывна в т. х.
А
т.к. точка
выбрана произвольно, то заключаем, что
функция
непрерывна на всей числовой оси.
Элементарной функцией называется всякая функция составленная из основных элементарных функция при помощи конечного числа арифметических действий и композиций.
Так как основные элементарные функции непрерывны в области их определений, а сложение, вычитание, умножение, и деление и композиция непрерывных функций приводят к непрерывным функциям, то заключаем, что всякая элементарная функция непрерывна в области определения.
Два замечательных предела.
Покажем,
что
(1)
Где х – измеряется в радианах.
Рассмотрим
окружность радиуса R=1
и центральный угол
A
Х 0 С В D
|
|
С
другой стороны площадь кругового сектора
ОАВ
меньше площади
.
или
.
Поэтому
для
т.к.
для
или
(2)
Эти
последние неравенства не изменятся при
замене х на
–х,
т.е. они будут справедливы в проколотой
- окрестности т. х=0.
Так
как функция
непрерывна в т. х=0,
т.е.
,
то из неравенств (2) с учетом теоремы о
lim
двух легавых
вытекает формула (1).
Примеры:
1)
2)
Л |
Т.е.
формула (2) полностью доказана.
Полагая
в формуле 2
(если
)
и применяя теорему о замене переменной
в пределе получим другое представление
2 замечательного предела:
(2’)
Следствия:
1)
(3)
- третий замечательный предел.
Запишем второй замечательный предел по формуле (2’) в виде.
и
прологарифмируем его по основанию e:
здесь
так как функция ln(u)
непрерывна
в точке u=e,
то переставляя местами знак предела и
знак непрерывной функции получим:
или
2)
(4)
здесь
в
частности при
(4’)
Положим
Откуда
;
при
т.к. показательная функция
непрерывна в точке x=0.
Пользуясь теоремой о замене переменной
в пределе и формулой (3) имеем
Полагая
в формуле (4) a=e
приходим
к формуле (4’)
3)
где
Положим
(при
в силу непрерывности экспоненциальной
функции)
;
Имеем:
Применяя теорему о замене переменной в пределе и формулу (4’).
Показательно-степенная
функция.
Для
вычисления пределов функций вида
следует пользоваться формулой:
(6)
При
этом считаем, что
и
существует.
Достаточно
применить основное логарифмическое
тождество и непрерывность экспоненциальной
функции.
Часто
встречается случай когда
при
Покажем, что формула (6) принимает вид:
(7)
(
при
)
Имеем:
применяя формулу (3) и
.
Особенно часто формула (7) применяется
когда
,
т.е. для раскрытия неопределенности
.
Примеры применения формул.
1)
2)