Гиперболические функции.

По определению гиперболическими называют функции:

(гиперболический косинус)

(гиперболический синус)

(гиперболический тангенс)

(гиперболический котангенс)

Гиперболические функции обладают рядом свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций. Например, для гиперболических функций имеют место сложения:

Основное тождество гиперболической геометрии:

Термин “гиперболический” означает, что равенство , задают гиперболу, (т.к. - равнобочная гипербола). Подобно тому как равенство , задают окружность ().

В заключении рассмотрим вопрос критерия сходимости числовой последовательности.

Пусть т.е.: на ряду с натуральным числом можно подставить в последнее неравенство другое натуральное число ,тогда

Мы получили следующее утверждение:

Если последовательность сходится, выполняется условие Коши:

(5)

Числовая последовательность удовлетворяет условию Коши называется фундаментальной. Можно доказать, что и справедлива и обратное утверждение. Таким образом мы имеем критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости последовательности.

Критерий Коши.

Для того, чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, что бы она была фундаментальной.

Второй смысл критерия Коши. Члены последовательности и где n и m – любые неограниченно сближающиеся при .

ЛЕКЦИЯ №

Пределы и непрерывность функции. Предел функции в точке

Определение 1. (по Гейне)

Постоянное число А называется пределом функции f(x) в точке (или при ) если для последовательности такой, что и соответствующая последовательность значений функций сходится А.

Пишем:

Определение 2. (по Коши)

Постоянное число А называется пределом функции в точке (или при ) если для произвольного числа найдется число такое, что из условия (1) вытекает неравенство .

Определение 2. (в кванторах)

Комментарий к определению по Коши.

Означает, что значение функции будут как угодно мало отличаться от постоянного числа А, если только соответствующее значение аргумента близки к .

Доказывается что определения 1 и 2 эквивалентны.

Геометрическая интерпретация определения по Коши. Т.к. неравенство (1) равносильно: то какова бы ни была полоса, ограниченная прямыми и , найдется интервал , такой что все точки графика с абсциссами из этого интервала (кроме быть может точки с абсциссами ) окажутся внутри данной полосы.

A

Подчеркнем, что определение Коши не требует, что бы функция была определена в точке , поэтому в определении речь идет о проколотой - окрестности точки - (окрестность точки радиуса ).

. ( - показывает что ).

Примеры:

1. ,

рассмотрим две последовательности ясно, что первая последовательность стремится к 0 при и вторая так же стремиться к 0 при .

Но: ;

Очевидно, , .

Видим, что соответствующие последовательности значений функций имеют разные пределы . Таким образом определение Гейне не удовлетворяет. Следовательно функция в точке предела не имеет.

II.

При имеем:

Выбираем произвольно и положим , тогда влечет или в символах: , т.е. .

Видим, что предел функции в точке x=3 существует, а значение функции в этой точке тут совершенно ни при чем. Мы могли бы придать функции значение или не придавать никакое.