4.1 Расчет общей передаточной функции линейной системы и проверка

системы на устойчивость

Произведем расчет передаточной функции линейной системы.

Структурная схема системы представлена на рисунке 2.

W_мп(р) – передаточная функция микропроцессора; W_дв(р) – передаточная

функция двойного вентиля; W_ва(р) – передаточная функция вакуумного

агрегата; W_да(р) – передаточная функция доильного аппарата;

W_мл(р) – передаточная функция молокоприемника; W_д(р) – передаточная

функция датчика потока молока.

Рисунок 2 - Структурная схема САУ доильного зала “Елочка”

Передаточная функция линейной системы с учетом обратной связи определяется по формуле:

. (22)

. (23)

Следовательно, передаточная функция примет вид:

.

Произведем оценку устойчивости системы по критерию устойчивости Ляпунова. Система является устойчивой при положительных коэффициентах характеристического уравнения замкнутой системы, если корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

.

Найдем корни характеристического уравнения:

, .

Коэффициенты характеристического уравнения положительные и корни уравнения имеют отрицательные действительные части, значит, система устойчивая.

Построим переходный процесс замкнутой системы.

. (24)

.

График переходного процесса представлен на рисунке 3.

По графику установившееся значение h_уст=1

Следовательно, 5% интервал отклонения от установившегося значения будет соответствовать следующим величинам:

, (25)

.

По полученному графику определим прямые оценки качества системы. Время переходного процесса t_p = 26 с.

Перерегулирование . (26)

Время нарастания регулируемой величины t_н = 18.5 с.

Время первого согласования t_c = 14 с.

, с

Рисунок 3 – График переходного процесса линейной системы

Построим амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) линейной системы, для этого произведем замену в передаточной функции р → jw, и выделим действительную и мнимую части. АЧХ строится по следующей формуле:

, (27)

где U (w) – действительная часть передаточной функции;

V (w) – мнимая часть передаточной функции.

График АЧХ показан на рисунке 4.

Для определения полосы пропускания частот определим величину:

, (28)

где А_max(ω) – максимальная амплитуда на графике АЧХ.

Определим косвенные показатели качества системы.

Колебательность . (29)

Резонансная частота ω_Р = 0.05 c^-1.

Полоса пропускания частот ω_ПР = 0.28 c^-1.

Частота среза ω_CP = 0.735 c^-1.

, Гц

Рисунок 4 – График АЧХ линейной системы

Сравнивая полученные оценки качества линейной системы с параметрами, заданными в техническом задании, приходим к выводу, что система удовлетворяет параметрам и оценки находятся в пределах 2% от требуемых.

4.2 Расчет передаточной функции дискретной системы и проверка системы

на устойчивость

Для перехода от линейной системы к дискретной необходимо провести z-преобразование передаточной функции замкнутой системы.

, (30)

где – передаточная функция линейной части системы;

– разрядности ЦАП и АЦП;

– экстраполятор нулевого порядка.

Z-преобразование передаточной функции линейной системы делаем в программном пакете Math Lab.

Создадим LTI-объект:

w=tf ([2100], [160 3000 20000 65000 120000 120000 66000 16000 2100]) (31)

2100 ×

-------------------------------------------------------------------------------------------

160 s^8 + 3000 s^7 + 20000 s^6 + 65000 s^5 + 120000 s^4 + 120000 s^3 +

× 1

-------------------------------------

+ 66000 s^2 + 16000 s + 2100

z=c2d (w, 1) (32)

5.3 z^7 + 0.003 z^6 + 0.01 z^5 + 0.01 z^4 + 0.002 z^3 + 5.8 z^2 + 2.4 z + 3

---------------------------------------------------------------------------------------------

z^8 - 2.5 z^7 + 2.3 z^6 - 1.1 z^5 + 0.3 z^4 - 0.03 z^3 + 0.009 z^2 - 5 z + 7

Sampling time: 1

Следовательно, передаточная функция дискретной системы:

.

Устойчивость дискретной системы определим по методу Шур-Кона. Согласно этому методу замкнутая система устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса. Корни характеристического уравнения будут лежать внутри единичной окружности, если коэффициенты уравнения удовлетворяют определителям Шур-Кона, имеющим значения: ∆К<0, для нечетных K и ∆К>0, для четных K.

Характеристическое уравнение дискретной функции имеет вид:

. (33)

Коэффициенты характеристического уравнения:

, , , , , , , .

Составим и вычислим определители Шур-Кона:

,

.

,

.

,

.

,

.

,

.

Получили, что корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности, так как коэффициенты уравнения удовлетворяют определителям Шур-Кона, имеющим значения: ∆К<0, для нечетных К и ∆К>0, для четных K. Следовательно, дискретная система устойчивая.

Качество дискретной системы определяется по кривой переходного процесса, вызванного единичным ступенчатым воздействием. В качестве единичного дискретного воздействия в дискретных системах принимается воздействие следующего вида:

. (34)

Таким образом, дискретная переходная функция будет иметь вид:

. (35)

.

Переходный процесс дискретной системы построим в программе Math Lab, используя команду Step(z). График переходного процесса дискретной системы представлен на рисунке 5.

По полученному графику определим прямые оценки качества системы.

Время переходного процесса t_p =26 с.

Перерегулирование .

Время нарастания регулируемой величины t_н = 18,5 с.

Время первого согласования t_с = 14 c.

t, c

h(t)

Рисунок 5 - График переходного процесса дискретной системы

5 ПОСТРОЕНИЕ ЛОГПРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДОЧАСТОТНОЙ

ХАРАКТЕРИСТИКИ (ЛАЧХ) И ЛОГПРИФМИЧЕСКОЙ

ФАЗОЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ (ЛФЧХ) СИСТЕМЫ И ИХ

АНАЛИЗ

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнем систему. Структурная схема разомкнутой САУ представлена на рисунке 6.

Рисунок 6 - Структурная схема разомкнутой системы

Найдем передаточную функцию разомкнутой линейной системы:

(36)

Передаточная функция разомкнутой системы:

.

Создадим LTI-объект в среде Math Lab:

wp = tf ([0.1296],[0.01 0.128 1.28 4.15 7.4 7.48 4.2 1])

0.1296

------------------------------------------------------------------------------------------

0.01 s^7 + 0.128 s^6 + 1.28 s^5 + 4.15 s^4 + 7.4 s^3 + 7.48 s^2 + 4.2 s + 1

Проведем z-преобразование полученной передаточной функции:

z=c2d (wр, 0.01)

2.5 z^6 + 2.9 z^5 + 2.9 z^4 + 5.8 z^3 + 2.8 z^2 + 2.8 z + 2.29

------------------------------------------------------------------------------------------------

z^7 - 6.868 z^6 + 20.22 z^5 - 33.08 z^4 + 32.48 z^3 - 19.14 z^2 + 6.267 z - 0.8

Sampling time: 0.01

Следовательно, передаточная функция разомкнутой системы в форме z-преобразования:

,

.

Перейдем к псевдочастоте, сделав следующую подстановку:

. (37) где . (38)

Следовательно, получим передаточную функцию дискретной разомкнутой системы:

wp12=tf ([-2 4 7 -2.9 -3 6 9], [-8 5 6 -1.9 -4 5 3 -0.88])

1.6s^6 - 3.8 s^5 - 7.3 s^4 + 2.9 s^3 + 2.8 s^2 - 0.0056 s - 9.2

---------------------------------------------------------------------------------

7.8 s^7 - 4.5 s^6 - 6.3 s^5 + 1.9 s^4 + 3.8 s^3 - 4.8 s^2 - 29 s + 0.88

margin(w), grid (39)

Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ представлены на рисунке 7.

λ, рад/с

φ, °

20lg(A),

дБ/дек

Рисунок 7 – ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

Запас устойчивости по амплитуде – это величина в децибелах, на которую надо увеличить коэффициент усиления, чтобы привести систему к границе устойчивости.

Для определения запасов устойчивости, необходимо из точки, где фазовая характеристика принимает значение -180⁰, провести вертикальную линию до пересечения с ЛАЧХ. Если ЛАЧХ в этой точке имеет отрицательное значение, то система устойчива, если положительное, то не устойчивая.

Запас устойчивости по фазе – это угол, на который надо уменьшить ФЧХ, чтобы ее значение было равно -180⁰.

Из графика запас устойчивости по фазе равен 110 рад/сек, запас устойчивости по амплитуде 48 дб/дек.

6 ПОСТРОЕНИЕ ЖЕЛАЕМОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АПЛИТУДО-

ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ (ЖЛАЧХ) СИСТЕМЫ

Желаемой называют асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой системы, имеющей желаемые (требуемые) статические и динамические свойства. Желаемая ЛАЧХ (ЖЛАЧХ) состоит из трех основных асимптот: низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной. Среднечастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы и ее сопряжение с низкочастотной определяют динамические свойства системы – устойчивость и показатели качества переходной характеристики.

Построим ЖЛАЧХ методом запретной зоны. Для построения ЖЛАЧХ необходимо найти запретную зону, ниже которой ЖЛАЧХ не может опускаться.

Исходными данными для построения служат параметры из технического задания. Перерегулирование системы составляет 30%. Время регулирования системы 60 с. Колебательность принимает значение 1,0303. Максимально допустимая ошибка составляет 0,3.

Скорость изменения входной величины:

g' = 2 (м/с);

Ускорение изменения входной величины:

g'' = 0.006 (м/с²).

Частоты рабочей точки определяется по формуле:

с^-1. (40)

Вычисляем амплитуду рабочей точки:

. (41)

Получили точку А = (0.003; -57).

Через полученную точку проводим прямую с наклоном –20 дБ/дек таким образом, чтобы она пересекала обе оси. Все, что лежит ниже получившейся прямой будет запретной зоной.

По номограмме Солодовникова определяем требуемое значение вещественной частотной функции Р_max, а по этому значению и кривой t_р находим время регулирования:

Так как σ=30%, то по номограмме Солодовникова определяем Р_max(ω)=1,27, а время регулирования определяется по формуле:

. (42) По графику определяем, что время регулирования равно:

. (43) Время регулирования системы 60 с. Находим частоту среза:

(44)

Найденное значение ω _ср наносим на шкалу частот.

Через полученную точку проводим асимптоту желаемой ЛАЧХ с наклоном –20 дБ/дек. Проведем две параллельные прямые, которые будут ограничивать асимптоту с наклоном –20 дБ/дек. Величина этих прямых определяется по формуле:

, (45)

где М=1,0303 – колебательность.

Рассчитаем эти величины.

,

.

Желаемая ЛАЧХ системы изображена на рисунке 8.

λ, рад/с

20lg(A),

дБ/дек

φ, °

Рисунок 8 - Желаемая ЛАЧХ системы

Определим передаточную функцию ЖЛАЧХ, для этого сначала по ЖЛАЧХ определим частоты сопряжения λ_с, а затем постоянные времени:

, (46)

,

Коэффициент усиления:

(47)

Передаточная функция ЖЛАЧХ:

, (48)

Следовательно, передаточная функция ЖЛАЧХ примет вид:

.

По полученным переходным процессам линейной и дискретной системы

видно, что в система полностью не удовлетворяет техническому заданию и нуждается в коррекции. Необходимо установить последовательное корректирующее устройство (КУ).

7 РАСЧЕТ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА (КУ)

КУ можно включать между различными элементами исходной системы. При выборе места включения руководствуются значением вносимой устройством погрешности. Наиболее предпочтительным вариантом является установка корректирующего устройства в электрическую цепь после микропроцессора.

Чтобы построить ЛАЧХ корректирующего устройства, необходимо графически вычесть из ЖЛАЧХ реальную ЛАЧХ (РЛАЧХ), затем по виду ЛАЧХ КУ можно определить передаточную функцию и параметры КУ.

В результате графического вычитания из ЖЛАЧХ РЛАЧХ, получим ЛАЧХ КУ, которая представлена на рисунке 9:

λ, рад/с

20lg(A),

дБ/дек

φ, °

Рисунок 9 – ЛАЧХ КУ

Определим передаточная функция ЛАЧХ КУ, для этого сначала определим частоты сопряжения , а затем постоянные времени.

.

.

Коэффициент усиления:

Передаточная функция корректирующего устройства:

, (49)

Передаточная функция примет вид:

.

Разобьем ЛАЧХ КУ на 2 участка, применяя таблицы стандартных пассивных корректирующих устройств.

Первый участок корректирующего устройства представляет собой корректирующую цепочку, которая представлена в соответствии с рисунком 10:

Рисунок 10 – Корректирующая RC - цепочка

Параметры RC цепочки:

(с),

(с).

Задавая значения С₁=7.5 мФ и С₂=5 мФ, определим индуктивность L₀:

.

Функция соответствующая первой корректирующей цепочке:

.

Второй участок корректирующего устройства представляет собой корректирующую RC - цепочку, представленную в соответствии рисунком 11:

Рисунок 11 – Корректирующая RC - цепочка

Зададим значение С₁=7.5 мФ и С₂=5 мФ, определим индуктивность L₀: . (50)

Зададим R₁ = 1 кОм, определим период Т₁:

. (51)

Данной цепочке соответствует передаточная функция:

. (52)

С

U’_вх

труктурная схема скорректированной САУ доильного зала “Елочка” представлена на рисунке 12:

Рисунок 12 – Структурная схема скорректированной САУ доильного зала

“Елочка”

Коррекцию системы можно произвести при помощи программы для микропроцессора, которая будет реализовывать передаточную функцию корректирующего устройства. Чтобы составить программу необходимо найти разностное уравнение в реальном масштабе времени.

После замены:

,

.

Для дальнейших расчетов, воспользуемся программным пакетом Mat Lab.

Передаточная функция корректирующего устройства примет вид:

w=tf([-77*10^6 6.9*10^5 1],[-25*10^4 10^3 1]).

Проведем z-преобразование, задав шаг дискретизации Т₀=0.1 с:

>> z=c2d(w,0.1),

, (53)

, (54)

(55)

где Y – выходная функция;

X – входная функция.

Микропроцессор выявляет отклонение полученного сигнала от желаемого и выдает команду на устранение этого отклонения. Значения желаемого сигнала задаются в микропроцессоре в цифровом виде, вычисления осуществляются в машинном коде.

Расчет разностного уравнения.

Реализация разностного уравнения на языке Assembler имеет вид представленный ниже:

Y(k) = 1*X(k) – 2.877*X(k-1) + 2.759*X(k-2) – 0.8817*X(k-3) +

+ 0.00454*X(k-4) – 0.004266*Y(k-1) + 0.01258*Y(k-2) - 0.01236*Y(k-3) +

+ 0.004047*Y(k-4).

X – входной сигнал.

Y – выходной сигнал.

A1 EQU 1 - задаем постоянные коэффициенты;

А2 EQU 2.877 - задаем постоянные коэффициенты;

A3 EQU 2.759 - задаем постоянные коэффициенты;

А4 EQU 0.8817 - задаем постоянные коэффициенты;

А5 EQU 0.00454 - задаем постоянные коэффициенты;

А6 EQU 0.004266 - задаем постоянные коэффициенты;

А7 EQU 0.01258 - задаем постоянные коэффициенты;

А8 EQU 0.01236 - задаем постоянные коэффициенты;

А9 EQU 0.004047 - задаем постоянные коэффициенты;

X0 DB 0 - выделение места под Х(k);

X1 DB 0 - выделение места под X(k-l);

X2 DB 0 - выделение места под X(k-2)

X3 DB 0 - выделение места под X(k-3);

X4 DB 0 - выделение места под X(k-4);

Y0 DB 0 - выделение места под Y(k-1);

Y1 DB 0 - выделение места под Y(k-2);

Y2 DB 0 - выделение места под Y(k-3);

Y3 DB 0 - выделение места под Y(k-4);

i port EQU 11h - номер порта для чтения;

o port EQU 12h - номер порта для записи;

start - метка начала цикла коррекции:

in al, i port - читаем из порта данные;

MOV X0, al;

MUL a1, A1 - вычисление слагаемого А1*X(k);

MOV b1, a1 - сохранение результата в b1;

MOV a1, X1;

MUL a1, A2 - вычисление слагаемого А2*X(k-1);

SUB b1, a1 - вычисление слагаемого 1*X(k) – 2.877*X(k-1), результат в

регистре b1;

MOV a1, X2;

MUL a1, A3 - вычисление слагаемого А3*X(k-2);

ADD b1, a1- вычисление слагаемого 1*X(k) – 2.877*X(k-1) + 2.7592*X(k-2), результат в регистре b1;

MOV a1, X3;

MUL a1, A4 - вычисление слагаемого А4*X(k-3);

SUB b1, a1- вычисление слагаемого 1*X(k) – 2.877*X(k-1) + 2.7592*X(k-2) – – 0.8817*X(k-3) , результат в регистре b1;

MOV a1, X4;

MUL a1, A5 - вычисление слагаемого А5*X(k-4);

ADD b1,a1- вычисление слагаемого 1*X(k) – 2.877*X(k-1) + 2.7592*X(k-2) – – 0.8817*X(k-3) + 0.00454*X(k-4), результат в регистре b1;

MOV a1, Y0;

MUL a1, A6 - вычисление слагаемого А6*Y(k-1);

SUB b1,a1 - вычисление слагаемого 1*X(k) – 2.877*X(k-1) + 2.7592*X(k-2) – – 0.8817*X(k-3) + 0.0045*X(k-4) – 0.004266*Y(k-1) , результат в регистре b1

MOV a1, Y1;

MUL a1, A7 - вычисление слагаемого А7*Y(k-2);

ADD b1,a1- вычисление слагаемого 1*X(k) – 2.877*X(k-1) + 2.7592*X(k-2) – – 0.8817*X(k-3) + 0.0045*X(k-4) – 0.004266*Y(k-1) + 0.01258*Y(k-2) ,

результат в регистре b1;

MOV a1,Y2;

MUL a1, A8 - вычисление слагаемого А8*Y(k-3);

ADD b1,a1- вычисление слагаемого 1*X(k) – 2.877*X(k-1) + 2.7592*X(k-2) – – 0.8817*X(k-3) + 0.0045*X(k-4) – 0.004266*Y(k-1) + 0.01258*Y(k-2) + + 0.01236*Y(k-3) , результат в регистре b1;

MOV a1, Y3;

MUL a1, A9 - вычисление слагаемого А9*Y(k-3);

ADD b1, a1 - вычисление значения всего выражения 1*X(k) – 2.877*X(k-1)+ + 2.7592*X(k-2) – 0.8817*X(k-3) +0.0045*X(k-4) – 0.004266*Y(k-1) – – 0.01258*Y(k-2) + 0.01236*Y(k-3), результат в регистре b1;

MOV a1, Y4;

MUL a1, A9 - вычисление слагаемого А9*Y(k-4);

SUB b1, a1 - вычисление значения всего выражения 1*X(k) – 2.877*X(k-1) + + 2.7592*X(k-2) – 0.8817*X(k-3) +0.0045*X(k-4) – 0.004266*Y(k-1) – –0.01258*Y(k-2) +0.01236*Y(k-3) – 0.00404*Y(k-4), результат в регистре b1;

MOV Y4, Y3 - сохранение значений для следующего такта;

MOV Y3, Y2 - сохранение значений для следующего такта;

MOV Y2, Y1 - сохранение значений для следующего такта;

MOV Y1, Y0 - сохранение значений для следующего такта;

MOV Y0, b1 - сохранение значений для следующего такта;

MOV X4, X3 - сохранение значений для следующего такта;

MOV X3, X2 - сохранение значений для следующего такта;

MOV X2, X1 - сохранение значений для следующего такта;

MOV X1, X0 - сохранение значений для следующего такта;

MOV X0, a1 - сохранение значений для следующего такта;

Out о port, b1 - вывод управляющего сигнала из b1;

JMP start - замыкание цикла.

Блок-схема программы коррекции, реализованной на МП представлена в соответствии с рисунком 12, где представлена структурная схема скорректированной САУ доильного зала “Елочка”.

В блок-схему входят: блок начальных параметров входных и выходных величин, блок чтения входных параметров и помещение их в регистр, блок составления и решения разностного уравнения, блок с полученными значениями входных и выходных параметров, блок вывода управляющего сигнала.

Рисунок 13 – Блок-схема программы коррекции, реализуемой на МП

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе курсовой работы разработана система автоматического управления доильным залом “Елочка”, которая работает на базе микропроцессорного управления.

Производился выбор элементной базы для системы, в ходе которого для каждого элемента подобрали передаточную функцию и технические параметры. Также в систему включили датчик для контроля регулируемой величины.

Рассчитали линейную и дискретную систему на устойчивость. Построили графики переходных процессов и амплитудочастотную характеристику системы, также определили прямые и косвенный оценки качества для линейной системы.

Построили ЛАЧХ системы и определили запасы по амплитуде и по фазе.

Построили желаемую ЛАЧХ системы и определили ее передаточную функцию.

Сделали вывод, что система не полностью удовлетворяет техническому заданию и нуждается в коррекции.

Выбрали оптимальное корректирующее устройство, построили ЛАЧХ корректирующего устройства и произвели расчет самого корректирующего устройства, определили его передаточную функцию.

Сделали вывод, что для системы скорость коррекции не так важна как точность, и, что коррекцию системы можно произвести при помощи программы для микропроцессора, которая будет реализовывать передаточную функцию корректирующего устройства. Для составления программы нашли разностное уравнение в реальном масштабе времени и построили блок-схему скорректированной САУ.

Таким образом, после продолжительного проектирования была получена система автоматического управления, удовлетворяющая требования, поставленным в техническом задании.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Гостев В.И., Лесовой Е.П., Чуприн П.Е.. Применение оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов для объектов управления с чистым запаздыванием. – Санкт-Петербург: Машиностроение, 1999. – 528 с.

2. Иванова Г. М., Кузмецов Н. Д. Теплотехнические измерения и приборы. - М.: Энергоатомиздат. 1984. – 86 с.

3. Топчеев Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. - Москва: Энергоиздат, 1988. – 345 с.

4. Хващук А.П. Микропроцессоры и микроЭВМ. - М.: Высшая школа, 1982. – 148 с.

5. Бойко Г.М. Нормоконтроль оформления дипломного (курсового) проекта (работы) / Г.М. Бойко, В.К. Власова // Методические указания для студентов специальности УИТ. – Балаково, 2007. – 51 с.

6. Скоробогатова Т.Н. Разработка и расчет локальных систем автоматики

/Т.Н. Скоробогатова // Методические указания для студентов специальности УИТ. – Балаково, 2007. – 13 с.

7. Спектральнооптические приборы для контроля технологических процессов [Электронный ресурс]/Центр Sigma-Optic. – Электрон. Дан. – Санкт-Петербург: ОптПриб, 2006. – Режим доступа: http//www.sigma-optic.ru, свободный. – Загл. с экрана.

8. Повышение эффективности преобразовательных и радиотехнических устройств [Электронный ресурс]: [интерактив. учеб.]. – Санкт-Петербург: Питер, 2007. - Режим доступа: http//www.dvo.sut.ru/ - Загл. с экрана.