Вычисление весов измерений и функций

Для облегчения совместной обработки разнородных и неравноточных результатов измерений вводится понятие веса. Весом называют степень доверия к результату, который вычисляется как величина, обратно пропорциональная к точности получения результата.

Основные формулы.

Вес

Обратный вес функции измерений, из которых зависимы

Обратный вес функции, представленной в матричном виде

Средняя квадратическая погрешность единицы веса

• по истинным ошибкам

• по истинным невязкам

• по истинным поправкам

Погрешность функции с использованием принципа равных влияний

5. Угол получен со средней квадратической погрешностью . Сколько приемов нужно сделать инструментом, дающим результат одного измерения со средней квадратической погрешностью , чтобы веса углов оказались одинаковыми?

Дано: , ,

Найти:

Решение. Запишем формулу для нахождения средней квадратической погрешности из приемов:

Также нам известно, что веса этих измерений угла должны быть одинаковы:

Откуда выразим и вычислим количество приемов:

Ответ: приемов.

30. Угол получен как среднее из углов и , которые измерены шестью и двумя приемами соответственно. Средние квадратические погрешности результата измерения угла одним приемом оказались и . Найти вес угла , приняв за единицу вес вероятнейшего угла .

Дано: , , ,

Найти:

Решение. Угол получается как среднее из суммы углов и , т.е.

Найдем частные производные от функции по и по :

Вычислим средние квадратические погрешности из приемов:

По условию дано, что вес угла равен единице, значит можно вычислить коэффициент .

Найдем вес измерения угла :

Вычислим обратные веса измерений:

Запишем уравнение для нахождения обратного веса функции и вычислим его значение:

Найдем вес угла :

Ответ: .

Дополнительные возможности при обработке косвенных измерений

1. Использование простейшего численного дифференцирования.

20. Вычислить относительную ошибку гипотенузы прямоугольного треугольника, если

, .

Дано: , , , .

Найти: .

Решение. Гипотенуза прямоугольного треугольника будет равна

Примем и . Теперь мы можем вычислить приближенные частные производные по формуле:

Причем — величина, близкая к нулю. Имеем:

Найдем частные производные (для сравнения) по параметрам и .

Вычислим относительную ошибку гипотенузы:

Ответ: .

2. Получение погрешности функции с учетом случайной и систематической погрешности.

75. Вычислить горизонтальное проложение длины измеренной линии и его среднюю квадратическую погрешность, если и , а систематические погрешности равны и .

Решение: функция измерений имеет вид

Тогда случайная средняя квадратическая погрешность измерений будет находиться по формуле

где и - частные производные функции по элементам и .

Найдём горизонтальное проложение:

Рассчитаем случайную среднюю квадратическую погрешность измерений

Теперь найдём систематическую погрешность по формуле

где и - частные производные функции по элементам и .

Теперь, зная и , найдём среднюю квадратическую погрешность функции:

Ответ: , .

3. Проектирование результатов измерений на основе сеточного метода.

20. При проектировании результатов измерений по первому принципу (равенство погрешностей измерений) требуется получить площадь прямоугольника с погрешностью при соотношении сторон и погрешности измерения стороны . Найти длины сторон прямоугольника и , удовлетворяющие поставленному условию на погрешность площади.

Дано: , ,

Найти:

Решение. Составим функцию площади прямоугольника:

Найдем частные производные по каждой из сторон:

Составим уравнение погрешности:

Построим таблицу значений средней квадратической погрешности с учетом того, что отношение сторон и равно двум.

	200	201	202	203	204
100	4,47	4,49	4,51	4,53	4,54
100,5	4,48	4,49	4,51	4,53	4,55
101	4,48	4,50	4,52	4,53	4,55
101,5	4,49	4,50	4,52	4,54	4,56
102	4,49	4,51	4,53	4,54	4,56

Значит, наиболее вероятными являются значения длин ,

Ответ: , .