Министерство Образования РБ УО «Полоцкий Государственный Университет»
Кафедра геодезии и кадастров
ТМОГИ. Лабораторная работа №3
Обработка косвенных результатов измерений
Вариант 10
Выполнил: Самусенков Д.Н.
Проверил: Дегтярев А.М.
Новополоцк
2007
Оценка точности косвенных измерений
Суть прямой задачи теории погрешностей: нахождение среднеквадратической погрешности функции известного вида, если заданы погрешности ее аргументов , представляющие собой непосредственно измеренные величины.
Основные формулы:
Дисперсия функции
Вектор-строка
20. Вычислить относительную ошибку гипотенузы прямоугольного треугольника, если
, .
Дано: , , , .
Найти: .
Решение. Гипотенуза прямоугольного треугольника будет равна
Найдем частные производные для этой функции по параметрам и .
Вычислим относительную ошибку гипотенузы:
Ответ: .
30. Площадь участка определяется двумя обводами с помощью планиметра. Какова будет предельная ошибка в площади, если каждый отсчет имеет ошибку деление, а цена деления планиметра, равная , не содержит ошибки?
Дано: , ,
Найти: .
Решение. Запишем формулу для определения площади при помощи планиметра:
Найдем частные производные по отсчетам :
Вычислим относительную ошибку определения площади при помощи планиметра:
Ответ: .
40. Сколько углов должно быть в многоугольнике, чтобы при измерении углов теодолитом четырьмя приемами предельная невязка была не более ?
Дано: ,
Найти:
Решение. Предельная невязка находится по формуле:
где — вероятностный коэффициент (примем его за 2,5), — погрешность прибора (в нашем случае ). Выразим и вычислим количество углов многоугольника
Ответ: сторон в полигоне.
50. Определить относительную ошибку периметра полигона, состоящего из сторон длинной в среднем каждая, если относительная погрешность измерения лентой всех сторон одинакова и равна .
Дано: , ,
Найти:
Решение. В данном случае периметр полигона находится по формуле:
Частная производная функции по равна
Вычислим относительную ошибку периметра полигона:
Ответ: .
1. Определить в общем виде предельную погрешность приращения координат по оси абсцисс.
Решение: Формула приращения координат по оси абсцисс имеет вид
где - длина линии, - дирекционный угол.
Формула предельной погрешности будет иметь вид
где и — частные производные от функции по и соответственно.
Находим частные производные:
Тогда формула предельной погрешности примет окончательный вид:
Ответ: .
Оценка точности вектор-функции
Суть оценивания заключается в необходимости производства оценки не одной функции, а нескольких, описывающих совместно какой-либо процесс.
Основные формулы.
Вектор-функция
Оценка вектор-функции в виде ковариационной матрицы
5. Угол получен как среднее арифметическое из четырех приемов со среднеквадратической погрешностью, а угол — из девяти приемов со среднеквадратической погрешностью одного приема. Найти среднюю квадратическую погрешность суммы углов и.
Дано: , , ,
Найти:
Решение. Вычислим погрешность измерения угла из приемов:
Запишем функцию, погрешность которой нужно найти:
Для того, чтобы найти ее погрешность, найдем частные производные по каждому углу и по формуле вычислим среднюю квадратическую погрешность:
Ответ: .
10. Найти ковариационную матрицу и коэффицент корреляции для определения координат в однократной линейной засечке при , , а базис безошибочен и имеет значение .
Дано: , , , ,
Найти: , .
Решение.
Составим уравнения для определения координат:
Составим вектор-функцию:
В вектор-функции частные функции содержат общие элементы — расстояние и дирекционный угол , поэтому они будут коррелированны между собой.
Найдём матрицу Якоби. Для этого вычислим частные производные от по и :
|
||
Находим дирекционный угол по формуле:
где найдём по теореме косинусов:
Откуда:
Матрица Якоби примет вид:
Найдем матрицу измерений:
Теперь получим ковариационную матрицу частных функций:
Найдем коэффициент корреляции :
Ответ: , .
3. Вычислить коэффициент корреляции между приращениями координат по осям абсцисс и ординат, если результаты измерений следующие: длина , дирекционный угол
.
Дано: ,
Найти: .
Решение. Запишем частные и общую вектор-функцию:
В вектор-функции частные функции содержат общие элементы — расстояние и дирекционный угол , поэтому они будут коррелированны между собой.
Найдём матрицу Якоби. Для этого вычислим частные производные от по и :
|
||
Матрица Якоби примет вид
Найдём матрицу измерений:
Получаем ковариационную матрицу частных функций по формуле:
Из матрицы найдём коэффициент корреляции
Ответ: .
Предрасчет точности измерений по заданной погрешности функции (Задача проектирования)
Вторая задача теории погрешностей измерений используется для проектирования точностей, с которыми необходимо производить измерение параметров для достижения общей точности, максимально приближенной к заданной.
Основные формулы.
Дисперсии для трех случаев применения принципа равных влияний:
Погрешности трех случаев применения принципа равных влияний:
10. Для производства угловых измерений в полигонометрии получено три теодолита. Первый теодолит результат со средней квадратической погрешностью измерения угла одним приемом, равной , второй — равной , третий — с погрешностью, равной . Определить какое минимальное число приемов нужно сделать каждым теодолитом, чтобы обеспечить получение средней квадратической погрешности вероятнейшего значения угла не более .
Дано: , , ,
Найти: , ,
Решение. Для того, чтобы найти количество приемов воспользуемся следующей формулой:
где — точность, с которой был получен угол в один прием, — количество приемов.
Выразим количество приемов из этой формулы и найдем их для каждого теодолита.
Ответ: , , .
20. При проектировании результатов измерений по первому принципу (равенство погрешностей измерений) требуется получить площадь прямоугольника с погрешностью при соотношении сторон и погрешности измерения стороны . Найти длины сторон прямоугольника и , удовлетворяющие поставленному условию на погрешность площади.
Дано: , ,
Найти:
Решение. Составим функцию площади прямоугольника:
Учитывая то, что отношение сторон по длине , получим
Найдем частную производную
Замишем формулу погрешности и подставим все имеющиеся данные
Выразим сторону и вычислим ее:
Зная соотношение, вычислим величину стороны :
Ответ: , .
30. Определить средние квадратические погрешности измерения ребер прямоугольного параллелепипеда , и , при которых его объем будет получен с погрешностью .
Дано: , , ,
Найти: , ,
Решение. Составим функцию объема параллелепипеда:
Найдем частные производные по каждой из сторон:
Вычислим погрешности по трем методам:
1)
2)
3)