1. Отражение и преломление света на границе двух диэлектриков. Формулы Френеля (продолжение)

Установим с помощью формул Френеля соотношения между фазами подающей, преломленной и отраженной волн. Эти фазы волн либо совпадают, либо отличаются на π. Направления, выбранные для наших векторов в качестве положительных условны. Выбор положительных направлений означает, что волны i, r, d совпадают по фазе, если амплитуды E_i, E_r, E_d имеют одинаковые знаки, и противоположны по фазе, если знаки различны.

Из формул (29) и (31) следует, что при любом значении углов φ и ψ знаки E_d║ и E_i║ и знаки E_d┴ и E_i┴ совпадают между собой. Это означает, что на поверхности раздела и фазы их совпадают, т.е. преломленная волна во всех случаях сохраняет без изменения фазу падающей. Для компонент отраженной волны (E_r║ и E_r┴) дело обстоит сложнее. Как показывают формулы (30) и (32), в зависимости от угла падения и значения показателя преломления

	φ+ψ<1/2·π	φ+ψ>1/2·π
φ>ψ т.е. n2>n1, или n>1	Er┴ и Ei┴ противоположны по фазе (противоположны по знаку) Er║ и Ei║ противоположны по фазе (противоположны по знаку)	Er┴ и Ei┴ противоположны по фазе (противоположны по знаку) Er║ и Ei║ совпадают по фазе (совпадают по знаку)
φ<ψ т.е. n2<n1, или n<1	Er┴ и Ei┴ совпадают по фазе (совпадают по знаку) Er║ и Ei║ совпадают по фазе (совпадают по знаку)	Er┴ и Ei┴ совпадают по фазе (совпадают по знаку) Er║ и Ei║ противоположны по фазе (противоположны по знаку)

Таким образом, при малых углах (φ+ψ<1/2·π) фаза обеих компонент электрического вектора отраженной волны противоположна по фазе падающей для случая n₂>n₁, и совпадает с фазой падающей волны при n₂<n₁. Т.е. это явление потери полуволны при отражении от оптически более плотной среды.

Энергия света I_i, падающего на единицу площади поверхности границы раздела в единицу времени, есть проекция вектора вектора Умова-Пойтинга на нормаль к границе раздела. Усредняя энергию за период колебаний 2π/ω, найдем

.

Соответственно для отраженной и преломленной волн энергия, покидающая еденицу площади поверхности в еденицу времени, выразится соотношениями

; ,

Отношение отраженного потока к падающему определяется квадратами амплитудных коэффициентов отражения r²_┴ и r²_║;

; . (33)

В случае нормального падения (φ = ψ = 0) из формул (29) и (31), раскрывая неопределенность, находим

. (34)

Равенство коэффициентов отражения r_┴ и r_║ при нормальном падении вполне понятно, т.к. в этом случае и E_i┴ и E_r║ параллельны границе раздела и физически равноправны. Знаки r_┴ и r_║ выражают соотношения фаз отраженной и преломленной волн.

Для n = 1,5 (стекло-воздух) находим

r²_┴ = r²_║ = 1/25 = 4%

Уменьшить отражение света от свободной поверхности стекла путем просветления оптики. После хим. обработки стекла и осаждении на нем образуется поверхностный слой такой, что лучи отраженные от верхней и нижней границ этого слоя, благодаря интерференции взаимно погашаются (для λ = 600 нм разность хода должна составлять λ/2 (d=125 нм, n=1,2)).

Если φ + ψ = π/2 и tg(φ + ψ) ∞. Это условие выполняется при угле падения φ_Б = arctg n₂/n₁ = arctg n. (35)

Для границ раздела воздух-стекло и воздух-вода φ_Б, соответственно, равен φ_Б = 56˚19΄ (n = 1,5) и φ_Б = 53˚4΄ (n = 1,33).

При угле падения φ = φ_Б коэффициент отражения r_║ для E_r║ равен нулю, а для r_┴ дается формулой

.

При φ = φ_Б отраженный свет линейно поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Обращение в нуль коэффициента отражения r_║ при φ = φ_Б называют законом Брюстера, а угол φ_Б – углом Брюстера.

На рис.29 представлены графики зависимости r²_┴ и r²_║( кривые I и III) от угла падения φ для n = 1,52, в соответствии с чем угол Брюстера равен 56˚40΄. Кривая II отвечает коэффициенту отражения для неполяризованного

света. В этом случае E_i║² = E_i┴² и I_r = 1/2·( r_║²+r_┴²)I_i, т.е. коэффициент отражения равен среднему арифметическому из r_║² и r_┴². Если луч направить из стекла в воздух, то углы φ и ψ поменяются местами и как следует из (3.10) значения r_║² и r_┴² останутся неизменными. Для этого случая углы указаны наверху графика.

Рис. 29

Физические основы оптических систем связи

Лекция 9

Вопросы

1. Поляризация света при прохождении через границу двух диэлектриков

Рис.29

2. Физический смысл закона Брюстера

1. Поляризация света при прохождении через границу двух диэлектриков.

Рис.29

Если свет естественный , то за промежуток времени длинный по отношению к продолжительности внутриатомных процессов, квадраты компонент вектора напряженности электрического поля, лежащие в плоскости падения и перпендикулярные к ней, в среднем равны между собой.

Для отраженного света, однако, (36)

Поэтому отраженный свет оказывается более или менее поляризованным и .

За меру степени поляризации естественно принять отношение , где I_┴ и I_║ – интенсивности, соответствующие компонентам E_┴ и E_║. Величину Δ называют степенью поляризации.

Для естественного света Δ = 0, т.к. I_┴ = I_║.

Поляризация достигает 100% если одна из компонент электрического вектора обращается в 0.

Если φ + ψ = π/2, то I_r┴ = 0, и I_r║ ≠ 0 и Δ = 100%, т.е. отраженный свет полностью поляризован, причем электрический вектор перпендикулярен к плоскости падения (з. Б.).

Коэффициенты пропускания t_┴ и t_║ не обращаются в 0 ни при каком угле падения φ, т.е. полная поляризация в проходящем свете невозможна. Однако всегда E_d║² ≥ E_d┴² , т.е. I_d║ ≥ I_d┴ и Δ ≤ 0. Это означает, что имеет место частичная поляризация с преимущественным направлением колебаний, лежащими в плоскости падения.

При падении света под углом Б получаем

, ,

(37)

При n=1,5 (воздух-стекло) Δ = - 8%, т.е. проходящий свет частично (на 8%) поляризован.

Если свет проходит внутрь плоскопараллельной пластинки, то на второй поверхности вновь происходит преломление под углом Брюстера и степень поляризации прошедшего через пластинку света увеличивается еще приблизительно на 8%. Если сложить последовательно несколько пластинок (стопа Столетова), то поляризация проходящего света будет быстро возрастать при увеличении числа пластинок.

Из формул Френеля следует (см. таблицу), что компоненты E_r║ и E_r┴ совпадают по фазе, пока угол падения меньше угла Брюстера (φ + ψ < π/2), и становятся противоположными по фазе, когда (φ + ψ > π/2). При угле Брюстера должно иметь место

изменение фазы E_r║ скачком на 180°.

Рис.30

Кроме того, при падении под углом Брюстера в отраженном свете колебания должны быть перпендикулярны к плоскости падения (ибо E_r║=0).

Как показали специальные опыты, закон Брюстера выполняется неточно, а именно, при отражении поляризованного света под углом, близким к углу Брюстера, наблюдается не плоскополяри-зованный, а эллиптически-поляризованный свет. Это значит, что между компонентами E_r║ и E_r┴ имеется некоторая разность фаз, отличная от 0 и 180°, т. е. что изменение фазы E_r║ при прохождении через угол Брюстера происходит не скачком, а постепенно, хотя и очень быстро. На рис. скачкообразное изменение фазы показано пунктиром; сплошная линия дает фактически наблюдаемое изменение. Указанные результаты можно объяснить существованием переходного слоя на поверхности раздела двух сред, где ε₁, (а значит, и n₁) переходит в ε₂ (в n₂) быстрым, но непрерывным изменением, а не скачком.

2. Физический смысл закона Брюстера.

При выводе формул Френеля и их интерпретации мы пользовались граничными условиями для электромагнитного поля, не прибегая к представлениям о вторичных волнах, испускаемых атомами или молекулами вещества. Привлекая эти рассуждения, мы могли бы внести большую физическую ясность в наши формулы.

Падающая волна возбуждает в среде II колебания электронов, которые становятся источником вторичных волн; эти волны и дают отраженный свет. Направление колебаний совпадает с направлением электрического вектора световой волны, т. е. для среды II оно перпендикулярно к ОС. Можно представить это колебание как сумму двух колебаний, одно из которых (α) лежит в плоскости АОС и другое (β) – к ней перпендикулярно. Если свет падает под углом Брюстера, т.е. φ + ψ = π/2, то OB┴ОС. Следовательно, 0В||α. Однако колеблющийся электрический заряд не излучает электромагнитных волн вдоль направления своего движения. Поэтому излучатель типа ОС вдоль 0В не излучает. Таким образом, по направлению 0В идет свет, посылаемый излучателями типа β, направление колебаний которых перпендикулярно к OB, т. е. перпендикулярно к плоскости чертежа.

Рис.31

Опыт показывает, что закон Брюстера не соблюдается вполне строго. Может быть, одна из причин отступлений лежит в том, что мы считали молекулы изотропными, а это далеко не всегда имеет место.

Физические основы оптических систем связи

Лекция 9

Вопросы

1. Явление полного внутреннего отражения

Рис.29

2. Исследование отраженной волны. Эллиптическая поляризация

1. Явление полного внутреннего отражения

Закон преломления гласит, что sinψ = sinφ/n. Если п < 1, то согласно этому соотношению возможно такое значение угла падения φ, при котором sinψ > 1, что не имеет смысла. Подобный случай имеет место когда свет идет из более преломляющей среды в среду менее преломляющую (например, из стекла в воздух). Угол φ, соответствующий условию sinφ = п, принято называть критическим или предельным. При этих условиях весь свет полностью отражается обратно в первую среду, в соответствии с чем явление носит название полного внутреннего отражения.

Поскольку при этом условии угол ψ не имеет смысла, мы не можем интерпретировать для данного случая и формулы Френеля в приведенном выше виде, ибо в них непосредственно входит угол ψ. Можно, однако, преобразовать эти формулы, введя в них п. Раскрывая выражения sin(φ + ψ), sin(φ - ψ) и т.д., заменим sinψ па sinφ/n и cosψ на . Для рассматриваемого случая величина sinφ/n > 1, а значит, и sin²φ/n² > 1, т. е. cosψ становится мнимым: (38)

Как показывает анализ, знаку плюс соответствует бесконечное возрастание амплитуды по мере удаления от отражающей поверхности во вторую среду, что физически невозможно; поэтому в дальнейшем сохраним

(39)

Выполняя соответственные вычисления, мы получим E_r и E_d выраженными через E_i, φ и п, но при этом найденные выражения будут не действительными, а комплексными. Появление комплексных величин в выражениях для амплитуд отраженной и преломленной волн означает, что эти волны отличаются от падающей волны не только по амплитудам, но и по фазам.

2. Исследование отраженной волны. Эллиптическая поляризация

Исследование получающихся для отраженной волны соотношений приводит к следующим выводам.

a. и , а следовательно, , т.е. интенсивность отраженного света равна интенсивности падающего. Так как согласно закону отражения сечения падающего и отраженного пучков равны между собой, то найденное соотношение означает, что вся падающая энергия сполна отражается. Явление получило поэтому, как сказано выше, название полного внутреннего отражения. Оно легко наблюдается и демонстрируется множеством способов. Примером может служить часто применяемая в многочисленных оптических установках призма полного внутреннего отражения, поворачивающая лучи под прямым углом, или оборотная призма, перевертывающая изображение.

Рис.32. Призмы полного внутреннего отражения

а) поворотная призма;

б) оборотная призма.

Рис.33. Явление полного отражения в струе жидкости

Благодаря явлению полного внутреннего отражения свет не может выйти через боковую поверхность и следует вдоль струи, которая уподобляется, таким образом, изогнутому светопроводу.

Рис.34. Одномодовое а) и многомодовое б) оптическое волокно.

Рис.35. Типовая структура оптического волокна и распространение света в нем.

На явлении полного внутреннего отражения основано устройство прибора, позволяющего быстро и просто определять показатель преломления (рефрактометр Аббе–Пульфриха). Полное внутреннее отражение происходит на границе между стеклом (с известным и по возможности высоким показателем преломления) и тонким слоем жидкости, наносимым на поверхность стекла. Такой рефрактометр обеспечивает определение показателя преломления с погрешностью, не превышающей 0,1%.

б. Компоненты E_r┴ и E_r║ испытывают изменения фазы по отношению к E_i┴ и E_i║, обозначаемые соответственно δ_┴ и δ_║ , причем они| отличны, так что

(40)

Таким образом, если в падающей волне E_i┴ и E_i║ находятся в одной фазе, то в отраженном свете между взаимно перпендикулярными компонентами E_r┴ и E_r║ появится сдвиг фазы, зависящий от φ и п. Следовательно, явление полного внутреннего отражения позволяет получать эллиптически-поляризованный свет, как и пропускание света через кристаллическую пластинку. Разумеется, для осуществления эллиптической поляризации при полном внутреннем отражении надо, чтобы падающий пучок не был естественным, но обладал поляризацией, например, линейной.

Из формулы следует, что если sinφ == п, т. е. если параллельный пучок испытывает полное внутреннее отражение точно при предельном угле, то

tg1/2(δ_║ + δ_┴)=0

т.е. сдвиг фаз равен нулю, и плоскополяризованный свет остается и плоскополяризованным, не переходя в эллиптически-поляризованный.

Эллиптическую поляризацию, возникающую при полном внутреннем отражении плоскополяризованной волны, можно исследовать. Плоскость поляризатора N₁ должна, конечно, составлять некоторый угол с плоскостью падения на грань PP.

Для стекла (п = 1,5) можно подобрать такие значения φ, чтобы сдвиг фазы был равен 45°, а именно, при φ = 48°37' или φ = 54°37' имеем

δ_║ + δ_┴= 45°.

Двукратное полное внутреннее отражение под указанным углом в стекле дает изменение фазы на 1/2π, т. е. действует как пластинка в четверть волны.

Рис.36

Френель изготовил параллелепипед из стекла с подходящим показателем преломления, действующий указанным образом.

Если E_i║ = E_i┴, то при полном внутреннем отражении E_r║ = E_r┴, и так как δ_║ + δ_┴= 1/2π, то свет получится поляризованным по кругу. Легко видеть, что для этой цели надо на параллелепипед Френеля направить плоскополяризованный свет так, чтобы плоскость поляризации составила угол 45º с плоскостью падения. Преимущество по сравнению с пластинкой λ/4 возможно если в качестве материала выбрать стекло с малой дисперсией (легкий крон), где п мало зависит or λ. В случае сообщаемая ею разность фаз меньше зависит от длины волны, чем в случае обычных пластинок в четверть волны из слюды.

Рис.37