4. Метод дотичних (метод Ньютона)

Нехай функція двічі неперервно диференційована на відрізку , причому похідні і не дорівнюють нулеві і зберігають знак на цьому проміжку, а .

За методом дотичних (методом Ньютона) наближене значення кореня рівняння (1) знаходять як абсцису точки перетину дотичної до кривої в одній з точок або з віссю (мал. 27). При цьому змінна наближається до кореня лише з одного боку.

Рівняння дотичної, яка проведена до кривої в точці , має вигляд:

Наступне наближення кореня знайдемо як точку перетину дотичної з віссю :

.

Продовжуючи процес наближення, запишемо загальну формулу:

, (5)

Алгоритм знаходження кореня рівняння методом дотичних

1. Задати початкове наближення так, щоб виконувалася умова . Задати точність . Покласти .

2. Обчислити за формулою (5).

3. Якщо , процес закінчити і покласти .

Якщо , покласти і перейти до п.2.

Приклад 6. Знайти корінь рівняння (див. приклад 1) методом дотичних з точністю .

Розв’язання. В прикладі 1 корінь рівняння було відокремлено: . Очевидно, функція неперервна на відрізку разом із своїми похідними , . Оскільки , , а на відрізку , то . Отже, . Результати розрахунків з використанням формули (5) зведемо в таблицю:

0	–2	–
1	–1,545455	0,454545
2	–1,359615	0,185840
3	–1,325801	0,033814
4	–1,324719	0,001082
5	–1,324718	0,000001

Оскільки , то процес завершується: корінь рівняння .

5. Метод простих ітерацій

Нехай знайдений такий відрізок , що , і на кінцях відрізку функція , яка визначає рівняння , набуває значення різних знаків, тобто .

Алгоритм знаходження кореня рівняння методом простих ітерацій

1. Рівняння перетворити до рівносильного вигляду . Для збіжності процесу ітерацій необхідно, щоб виконувалась умова збіжності , де – деяка константа. При цьому задача зводиться до знаходження абсциси точки перетину прямої і кривої .

2. Задати початкове наближення . Задати точність . Покласти .

3. Обчислити за формулою

(6)

4. Якщо , процес закінчити і покласти .

Якщо , покласти і перейти до п.3.

Приклад 7. Знайти корінь рівняння (див. приклад 1) методом простих ітерацій з точністю .

Розв’язання. В прикладі 1 корінь рівняння було відокремлено: . Перетворимо рівняння до вигляду . Для цього запишемо його у формі . Але функція не задовольняє умові збіжності на відрізку , оскільки , , .

Скористаємося іншим перетворенням. Отримаємо . Функція задовольняє умові збіжності на відрізку , оскільки , , .

Задамо початкове наближення .

Результати розрахунків з використанням формули (6):

зведемо в таблицю:

0	–1	-
1	–1,2599	0,2599
2	–1,3123	0,0524
3	–1,3223	0,0100
4	–1,3243	0,0020
5	–1,3246	0,0003

Оскільки , то процес завершується: корінь рівняння .