
- •Тема 3. Методи розв’язування
- •1) Метод Гаусса-Жордана
- •Порядок заповнення розрахункової таблиці:
- •Алгоритм -го кроку методу Гаусса-Жордана
- •2) Похибки розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса-Жордана
- •2) Інші прямі методи
- •2. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Метод простої ітерації
- •4. Умови збіжності методу простої ітерації
- •Метод Зейделя
- •Тема 4. Методи розв’язування нелінійних рівнянь
- •1. Постановка задачі розв’язування нелінійного рівняння з одним невідомим. Відокремлення коренів.
- •Відокремлення коренів.
- •Способи відокремлення коренів
- •2. Метод поділу відрізку пополам (метод бісекції)
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом поділу відрізку пополам
- •3. Метод хорд
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом хорд
- •4. Метод дотичних (метод Ньютона)
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом дотичних
- •5. Метод простих ітерацій
- •Алгоритм знаходження кореня рівняння методом простих ітерацій
2. Метод поділу відрізку пополам (метод бісекції)
Нехай
дано рівняння
і відокремлений простий корінь
,
тобто знайдений такий відрізок
,
що
,
і на кінцях відрізку функція
,
яка визначає рівняння
,
набуває значення різних знаків, тобто
.
Відрізок
називається початковим
інтервалом невизначеності, тому
що відомо, що корінь йому належить, але
його місцеположення
з заданою точністю не визначено.
Процедура
уточнення положення кореня полягає в
побудові вкладених один в один відрізків,
кожен з яких містить корінь рівняння.
Для цього знаходиться середина поточного
інтервалу невизначеності
,
,
і за наступний інтервал невизначеності
з двох можливих обирається той, на кінцях
якого функція
набуває значення різних знаків.
Алгоритм знаходження кореня рівняння методом поділу відрізку пополам
-
Знайти початковий інтервал невизначеності
одним з методів відокремлення коренів. Задати точність
. Покласти
.
-
Знайти середину поточного інтервалу невизначеності:
.
-
Якщо
, то покласти
,
, а якщо
, то покласти
,
. В результаті знайдемо поточний інтервал невизначеності
.
-
Якщо
, то процес завершується:
. Наближене значення кореня знаходиться за формулою:
.
Якщо
,
то покласти
і перейти до п. 2.
Число
ітерацій
,
необхідних для досягнення заданої
точності
,
можна оцінити за формулою:
.
Звідси
видно, що, наприклад, для досягнення
точності
(при
)
необхідно виконати приблизно 10 ітерацій.
Приклад
4.
Знайти корінь рівняння
(див. приклад 1) методом
поділу відрізку пополам з точністю
.
Розв’язання.
В прикладі 1 корінь рівняння був
відокремлений:
,
тому
,
.
Очевидно, функція неперервна на відрізку
,
має єдиний простий корінь. На кінцях
відрізку
функція набуває значень
,
,
протилежних за знаком. Результати
розрахунків зведемо в таблиці:
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
–5 |
–2 |
–1 |
1 |
–1,5 |
–0,875 |
1 |
1 |
–0,875 |
–1,5 |
–1 |
1 |
–1,25 |
0,2965 |
0,5 |
2 |
–0,875 |
–1,5 |
–1,25 |
0,2965 |
–1,375 |
–0,224 |
0,25 |
3 |
–0,224 |
–1,375 |
–1,25 |
0,2965 |
–1,3125 |
0,05 |
0,125 |
4 |
–0,224 |
–1,375 |
–1,3125 |
0,05 |
|
–0,08 |
0,0625 |
5 |
–0,08 |
–1,34375 |
–1,3125 |
0,05 |
–1,3282 |
–0,015 |
0,03125 |
6 |
–0,015 |
–1,3282 |
–1,3125 |
0,05 |
–1,3204 |
0,018 |
0,0156 |
7 |
–0,015 |
–1,3282 |
–1,3204 |
0,018 |
–1,3243 |
0,0018 |
0,00781 |
Оскільки
,
то процес завершується:
.
Наближене значення кореня знаходиться
за формулою:
.