Відокремлення коренів.

Для відокремлення дійсних коренів корисно визначати спочатку число коренів, а також верхню і нижню межу їх розташування. Для цього використовують наступні теореми.

Теорема 1. (про число коренів алгебраїчного рівняння). Алгебраїчне рівняння -го степеня

(2)

має точно коренів, дійсних або комплексних за умови, що кожен корінь враховується стільки разів, яка його кратність.

Теорема 2 (про властивість спряженості комплексних коренів рівняння). Якщо є коренем кратності алгебраїчного рівняння (2), то число також є коренем кратності алгебраїчного рівняння (2).

Наслідок. Алгебраїчне рівняння непарного степеня має принаймні один дійсний корінь.

Теорема 3 (теорема Декарта про число дійсних коренів алгебраїчного рівняння). Число додатних коренів (з урахуванням їх кратностей) алгебраїчного рівняння (2) дорівнює числу змін знаків в послідовності коефіцієнтів (нульові коефіцієнти не враховуються) многочлена або менше цього числа на парне число. Число від'ємних коренів (з урахуванням їх кратностей) алгебраїчного рівняння (2) дорівнює числу змін знаків в послідовності коефіцієнтів многочлена або менше цього числа на парне число.

В обчислювальній практиці використовуються наступні

Способи відокремлення коренів

1. Графічний. Для наближеного розв'язання рівняння будують графік функції . Абсциси точок перетину цього графіка з віссю абсцис і є коренями рівняння .

Оскільки практично графік функції точно побудувати неможливо, то цим методом можна визначити лише наближені значення коренів рівняння , та визначити межі, в яких міститься розв'язок.

2. Аналітичний. Засобами математичного аналізу проводиться дослідження функції . Тут застосовується наступна теорема:

Теорема 4. Якщо функція , яка визначає рівняння , на кінцях відрізку набуває значення різних знаків, тобто , то в цьому відрізку міститься принаймні один корінь рівняння. Якщо ж функція неперервна і диференційована і її перша похідна зберігає знак всередині відрізка , то в цьому відрізку міститься тільки один корінь рівняння.

Якщо існує неперервна похідна і корені рівняння легко обчислюються, то процес відокремлення коренів рівняння (1) можна упорядкувати. Для цього, очевидно, достатньо підрахувати лише знаки функції в точках нулів її похідної і в граничних точках. Цей метод добре використовувати тоді, коли невідомо, скільки коренів має рівняння.

3. Формування більш простих функцій і , таких, що рівняння подається у рівносильному вигляді , з подальшою побудовою графіків двох функцій: і . Коренями рівняння є абсциси точок перетину графіків функцій і .

Приклад 1. Відокремити корені рівняння

.

Розв’язання. Згідно з теоремою 1 і наслідком з теореми 2 це алгебраїчне рівняння має три корені, серед яких принаймні один дійсний. Визначимо число додатних і від'ємних коренів. Для цього випишемо коефіцієнти многочлена : 1, 0, –1, 1. Оскільки число змін знаку , то число додатних коренів дорівнює 2 або менше на парне число, тобто вони відсутні. Випишемо коефіцієнти многочлена : –1, 0, 1, 1. Оскільки число змін знаку , то число від'ємних коренів дорівнює 1.

Відокремимо корені першим способом.

Складаємо таблицю значень функції :

x	–2	–1,5	–1,25	–1	0	1
y	–5	–0,875	0,297	1	1	1

Будуємо її графік:

Очевидно, корінь .

Приклад 2. Відокремити корені рівняння .

Розв’язання. Відокремимо корені другим способом.

Знайдемо першу похідну

і точки, де вона дорівнює нулю:

, , .

Визначимо знаки функції в точках нуля її похідної і в граничних точках:, , . Отже, рівняння має тільки 2 дійсних кореня, які лежать в інтервалах .

Приклад 3. Відокремити корені рівняння .

Розв’язання. Відокремимо корені третім способом.

Подамо це рівняння у вигляді . Поклавши , , визначимо абсцису точок перетину графіків функцій побудуємо таблиці значень обох функцій:

	–1	0	0,5	1
	1	0	0,25	1
	2,7	1	0,6	2,7

Побудуємо графіки функцій і .

За графіком корінь . При цьому .

Дамо тепер оцінку похибки наближеного кореня.

Теорема. Нехай – точний, а – наближений корінь рівняння (1), що містяться у відрізку , причому для будь-яких (зокрема, за можна узяти найменше значення , ). У такому разі справедлива оцінка:

.

Ця формула може дати грубі результати і її не завжди зручно застосовувати. Тому на практиці тим або іншим способом звужують загальний інтервал, що містить точний корінь і його наближені значення, і вважають .

Зауваження. Помилково визначати точність наближеного кореня по тому, наскільки добре він задовольняє даному рівнянню, тобто якщо число мале, то вважають, що добре наближає точний корінь .

Наближені значення кореня уточнюють різними ітераційними методами. Розглянемо деякі з них.