2) Похибки розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса-Жордана

Розглянемо питання про похибки розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса-Жордана. Якщо систему записано в матричному вигляді (1) , то розв'язок можна записано у вигляді . Однак, обчислений за методом Гаусса-Жордана розв'язок відрізняється від розв'язку з-за похибок округлень, які пов'язані з обмеженістю розрядної сітки машини.

Існують дві величини, які характеризують ступінь відхилення отриманого розв'язку від точного. Одна з них – це похибка , яка дорівнює різниці точного і отриманого розв'язків:

;

друга – відхил , яка дорівнює різниці між лівою і правою частинами рівнянь системи при підстановці в них розв'язку:

Можна показати, що якщо одна з цих величин дорівнює 0, то й друга повинна дорівнювати 0. Однак, з малості однієї не випливає малість другої. Якщо , то звичайно , але обернене справедливе не завжди. Зокрема для погано обумовлених систем (тобто, таких систем, в яких малі похибки обчислень або вихідних даних можуть привести до великих похибок в розв'язку) при похибка розв'язку може бути великою.

Разом з цим в практичних розрахунках, якщо система не є погано обумовленою, контроль точності розв'язку здійснюється за допомогою відхилу (похибку звичайно обчислити неможливо, тому що невідомий точний розв'язок). Відзначимо, що метод Гаусса-Жордана в цих випадках дає малі відхили.

2) Інші прямі методи

Серед прямих методів найбільш розповсюджений метод Гаусса; він зручний для обчислень на комп’ютері. Вкажемо деякі інші прямі методи.

Метод прогонки є модифікацією методу Гауса для окремого випадку розріджених систем – системи лінійних алгебраїчних рівнянь з трьохдіагональною матрицею, тобто з матрицею, всі елементи якої, що не лежать на головній і двох побічних діагоналях, дорівнюють нулю при та Такі системи зустрічаються при моделюванні деяких інженерних задач, а також при чисельному розв’язуванні крайових задач для диференціальних рівнянь.

Метод квадратного кореня використовується в тих випадках, коли матриця системи є симетричною.

Метод оптимального виключення є зручним при введені по рядках матриці системи в оперативну пам'ять. Але цей метод має недоліки: часте звернення до зовнішніх пристроїв, неможливість вибору головного елементу та ін.

Кліткові методи використовуються для розв’язування великих систем, коли матриця і вектор вільних членів цілком не вміщуються в оперативну пам'ять.

2. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Ітераційні методи (їх також називають методами послідовних наближень) полягають у тому, що розв’язок системи (1) відшукується як границя при послідовних наближень , де – номер ітерації. Як правило, за скінченну кількість ітерацій ця границя не досягається.