4.1 Расчет общей передаточной функции системы и проверка системы на устойчивость

Произведем оценку устойчивости системы по критерию устойчивости Ляпунова. По этому критерию для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы находились в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

Вычислим корни характеристического уравнения.

Изобразим полученные корни на комплексной полуплоскости (Рисунок 1). Для устойчивости системы достаточно, чтобы все они лежали в левой полуплоскости.

Рисунок 1 – Расположение корней на комплексной плоскости

Так как критерий выполняется, следовательно система является устойчивой.

Построим переходный процесс замкнутой системы.

Находим границы пятипроцентной трубки:

Рисунок 2– График переходного процесса замкнутой системы

По полученному графику определим прямые оценки качества системы:

1. время переходного процесса с;

2. перерегулирование ;

3. число колебаний до вхождения в пятипроцентную трубку ;

4. время нарастания регулируемой величины с;

5. время первого согласования с.

Построим АЧХ замкнутой системы (рисунок 3).

Рисунок 3 – График амплитудно-частотной характеристики замкнутой

системы

Определим косвенные показатели качества системы:

1. колебательность ;

2. резонансная частота ;

3. полоса пропускания частот ;

4. частота резонанса .

4.2 Расчет передаточной функции системы с учетом микропроцессора, расчет системы на устойчивость

Для перехода от линейной системы к дискретной необходимо провести z-преобразование передаточной функции замкнутой системы. Воспользуемся математическим вычислительным пакетом MatLab. Создадим LTI-объект описывающий передаточную функцию нашей системы.

>> W=tf([2.5*10^5 1.25*10^5],[18 2.91*10^3 1.21*10^5 1.06*10^6 2.55*10^7])

Transfer function:

250000 s + 125000

------------------------------------------------------

18 s^4 + 2910 s^3 + 121000 s^2 + 1.06e006 s + 2.55e007

Проведем z‑преобразование с временем дискретизации T=0.1, воспользовавшись стандартноq процедурой:

>> z=c2d(W,0.1)

Transfer function:

0.1184 z^3 - 0.06794 z^2 - 0.04236 z - 6.036e-005

--------------------------------------------------------

z^4 - 0.05956 z^3 + 0.7008 z^2 - 0.001627 z + 9.526e-008

Sampling time: 0.1

Устойчивость дискретной системы определим по методу Шур-Кона. Согласно этому методу замкнутая система устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса. Для проверки по указанному критерию найдем корни характеристического уравнения для дискретной ПФ:

>> pole(z)

ans =

0.0286 + 0.8366i

0.0286 - 0.8366i

0.0023

0.0001

Построим полученные корни на комплексной плоскости (рисунок 4).

Рисунок 4 – Расположение корней дискретной ПФ на комплексной плоско-

сти

Как видно из построения все корни лежат внутри единичной окружности, и следовательно дискретная система устойчива.

5 ПОСТРОЕНИЕ ЛАЧХ И ЛФЧХ СИСТЕМЫ И ИХ АНАЛИЗ

Для построения логарифмических характеристик системы необходимо найти передаточную функцию дискретной разомкнутой системы.

Найдем передаточную функцию разомкнутой линейной системы:

Произведем z-преобразование этой ПФ.

Коэффициент усиления:

Постоянные времени:

Зададим время дискретизации:

Используя формулуz-преобразования, приведенную в справочной литературе, находим вид дискретной ПФ.

Помножая полученное на функцию экстраполятора нулевого порядка, находим дискретную ПФ разомкнутой системы.

Перейдем к псевдочастоте, сделав следующую подстановку:

,

где.

×

×

Для построения логарифмических характеристик передаточную функцию разомкнутой системы представляют в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев. В некоторых случаях передаточную функцию трудно представить в виде произведения простых сомножителей, тогда построение логарифмических характеристик производится вычислением модуля и аргумента частотной передаточной функции, при различных значениях частоты. Воспользуемся вторым методом, применив программу MathCad (рисунок 5).

Рисунок 5 – ЛАЧХ и ЛФЧХ дискретной разомкнутой системы

Из графика видно, что запас устойчивости по фазе равен , а запас устойчивости по амплитуде определить невозможно, так как ЛФЧХ ни в одной точке не имеет значение.