2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

а) Предельный переход под знаком интеграла

Теорема 5. Пусть функция f(x;y) определена для xa и yY. Если:

1. f(x;y) непрерывна по х;

2. f(x;y) при yy₀ стремится к предельной функции (x) равномерно относительно х в каждом конечном промежутке [a;A];

3. интеграл (1) сходится равномерно относительно у в области Y,

то . (8)

Доказательство.

1) Функция (x)-непрерывна (в силу условий теоремы).

2) из (3) следует >0 A₀a: A>A>A₀, yY выполнено .

Переходя в последнем неравенстве к пределу при yy₀ (это возможно сделать по теореме о предельном переходе в собственном интеграле на основании условия), получим . Следовательно, функция (x) интегрируема на [a;+), т.е. .

3) A>a имеем

. (9)

По определению 2 из п.1 . (10)

Из существования следует . (11)

Из п.2 следует, что для сколь угодно большого А

.(12)

Из (9)-(12) следует:.

По определению это означает, что выполнено (8).

б) Непрерывность несобственного интеграла

Теорема 6. Пусть функция f(x;y) определена и непрерывна как функция двух переменных для значений xa и y[c;d]. Если интеграл (1) сходится равномерно относительно у в промежутке [c;d], то он представляет собой непрерывную функцию от параметра у в этом промежутке.

Доказательство.

Пусть x[a;A], yy₀, y₀[c;d]. В теореме 5 §1 (п.4) показано, что функция f(x;y) в этом случае равномерно относительно х стремится к предельной функции f(x;y₀). Тогда по этой теореме в интеграле (1) можно перейти к пределу под знаком интеграла:

.

По определению I(y) непрерывна в точке y=y₀, а следовательно, и на [c;d].

в) Интегрирование по параметру

Теорема 7. При предположениях теоремы 6 имеет место равенство:

.

Доказательство.

Возьмем A>a. Тогда

. (13)

По теореме 9 §1: . Поэтому из (13) получим

.

В силу равномерной сходимости интеграла (1) >0 A₀a: A>A₀, y[c;d] выполнено .

Тогда .

По определению , т. е.

.

г) Дифференцирование по параметру

Теорема 8. Пусть функция f(x;y) определена и непрерывна по х для xa и y[c;d]. Если:

1) f(x;y) имеет непрерывную производную по обеим переменным для xa и y[c;d];

2) интеграл (1) сходится y[c;d];

3) интеграл сходится равномерно по y[c;d],

то y[c;d] имеет место формула: .

Доказательство.

К функции на отрезке [c;y], y[c;d] применим теорему 7:

.

Так как функция непрерывна по у (по теореме 6), то по свойству интеграла с переменным верхним пределом

. Тогда , т.е.

.

§3. Интегралы Эйлера

1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)

Определение. Интегралом Эйлера первого рода (Бета-функцией) называется интеграл вида

. (1)

Этот интеграл является собственным, если одновременно a1, b1. Если же хотя бы одно из этих условий не выполнено, то он – несобственный.

Покажем, что интеграл (1) сходится. Если одновременно a>0, b>0.

Подынтегральная функция имеет, вообще говоря, две особые точки: х=0 и х=1. Поэтому представим (1) в виде:

.

Интеграл I₁ является несобственным при a<1, особая точка х=0. Запишем подынтегральную функцию в виде и введем функцию . Т.к. при любом b (конечный, 0), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Но сходится при 1-a<1, т.е. a>0. Следовательно, I₁ сходится при любом b и a>0.

Рассмотрим I₂. Он является несобственным при b<1, особая точка х=1. Подынтегральная функция . Положим . Т.к. при любом a (конечный, 0), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Т.к. сходится при 1-b<1, т.е. b>0, то I₂ сходится при любом a и b>0.

Следовательно, интеграл (1) сходится, если a>0, b>0. Т.е. множество {(a;b)| a>0, b>0} – область определения Бета-функции (a;b).

Свойства Бета-функции

1. Положим в (1) x=1-t, получим:

, (2)

т. е. Бета-функция – симметричная функция.

2. Пусть b>1. Применяя формулу интегрирования по частям, находим

.Т.к. , то

,

т.е. .

Отсюда , или

. (3)

Т.к. Бета-функция – симметричная, то при a>1 будет справедлива формула:

. (4)

Формулы (3) и (4) можно применять для «уменьшения» аргументов, чтобы сделать их, например, меньше 1. Если b=n, где , то применяя формулу (3) повторно, получим

.

Но .

Поэтому .

Если же еще и , то

.

3. Получим для Бета-функции другое аналитическое выражение. Для этого сделаем в (1) замену переменной: . Тогда , . Получим

.

4. Если b=1-a и 0<a<1 (а значит, и 0<b<1), то из последнего соотношения

.

(указанный интеграл вычислен Эйлером).

Если, в частности, взять , то .