3. Предельный переход под знаком интеграла

Пусть y₀- предельная точка множества Y. Поставим вопрос о пределе функции (2) при yy₀: -?

Теорема 4. Если функция f(x;y) при фиксированном y непрерывна по х в [a;b] и при yy₀ стремится к предельной функции (х) равномерно относительно х, то имеет место равенство:

. (4)

Доказательство.

По теореме 3 функция (х) непрерывна на [a;b]. Следовательно, . По условию f(x;y) непрерывна по х на [a;b], следовательно, она интегрируема по х на [a;b], т.е. .

Т.к. при yy₀, то по определению >0 >0: y: | y-y₀|<, xX выполнено. Оценим модуль разности:

.

Итак, >0 >0: yY: | y-y₀|< выполнено. По определению это значит, что .

Формула (4) может быть записана в виде:

.

В этом случае говорят, что возможен предельный переход по параметру под знаком интеграла.

4 Непрерывность по параметру

I. Случай интеграла (2): .

Пусть Y=[c;d]. Решим вопрос о непрерывности функции (2).

Теорема 5. Если функция f(x;y) определена и непрерывна как функция двух переменных в прямоугольнике [a,b;c,d], то интеграл (2) будет непрерывной функцией параметра y на отрезке [c;d].

Доказательство.

Т.к. f(x;y) непрерывна на замкнутом множестве [a,b;c,d], то она равномерно непрерывна на этом множестве. По определению выполнено .

Положим , тогда при выполнено . Согласно определению функция f(x;y) при yy₀ стремится равномерно к функции . Тогда по теореме 4 или . По определению I(y) непрерывна y₀[c;d], т.е. на непрерывна [c;d].

II. Случай интеграла (1): .

Теорема 6. Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области , функции (y) и (y) непрерывны на [c;d], то функция (1) непрерывна на [c;d].

Доказательство.

Зафиксируем y₀[c;d]. Тогда (1) можно записать в виде:

.

В первом интеграле пределы интегрирования постоянны (не зависят от параметра). Следовательно, по теореме 5, при yy₀ этот интеграл стремится к .

Оценим остальные два интеграла:

, ,

где . Т.к. функции (y) и (y) непрерывны, то при yy₀ (y)(y₀), (y)(y₀), следовательно, |(y)-(y₀)|0, |(y)-(y₀)|0, значит, два последних интеграла стремятся к нулю при yy₀. Тогда . По определению I(y) непрерывна y₀[c;d], т.е. непрерывна на [c;d].

Замечание 1. В силу непрерывности функций (y), (y), f(x;y) утверждение теоремы 6 можно записать в виде:

.

Замечание 2. Утверждения теорем 5 и 6 доказаны в теории двойных интегралов.

5. Дифференцирование по параметру

I. Случай интеграла (2): .

Теорема 7 (правило Лейбница). Пусть функция f(x;y) определена в прямоугольнике [a,b;c,d], непрерывна по х на [a;b] при любом фиксированном значении y[c;d]. Пусть, далее, во всей области существует частная производная , непрерывная как функция двух переменных. Тогда функция I(y) дифференцируема на [c;d] и справедлива формула:

. (6)

Доказательство.

Т.к. f(x;y) непрерывна по х y[c;d], то интеграл (2) определен. Фиксируем y=y₀[c;d]. Придадим ему приращение y0: y+y[c;d]. Тогда функция I(y) получит приращение:

.

Т.к. функция f(x;y) непрерывна на отрезке [c;d] и дифференцируема по y, то применим к ней формулу Лагранжа:

. (7)

Тогда

. (8)

Т.к. функция непрерывна на замкнутом прямоугольнике [a,b;c,d], то она равномерно непрерывна на нем. По определению

выполнено .

Полагая и считая , получим: выполнено .

По определению функция равномерно стремится к функции на [a;b] при y 0. Кроме того, функция непрерывна по х на [a;b] (т.к. непрерывна как функция двух переменных на [a,b;c,d]), следовательно, по теореме 4 допустим предельный переход под знаком интеграла:

.

Итак правой части равенства (8) следовательно, левой части равенства (8): . Переходя в равенстве (8) к пределу при y 0, получим . Т.к y₀ – произвольная точка из отрезка [c;d], то равенство теорема доказана.

II. Случай интеграла (1): .

Теорема 8. Пусть:

1. функция f(x;y) и её частная производная непрерывны на замкнутом промежутке =[a,b;c,d],

2. ,

3. Функции (y) и (y) имеют непрерывные производные на [c;d].

Тогда интеграл (1) имеет производную на [c;d], причем

. (9)

Доказательство.

Рассмотрим функцию , из которой I(y) получается подстановкой u=(y), v=(y). Таким образом, вопрос дифференцирования функции I(y) исчерпывается применением теорем о непрерывности и дифференцировании сложной функции. Покажем, что функции (y;u;v) существуют и непрерывны по совокупности переменных y, u, v.

1) Проверим существование и непрерывность частной производной . Её существование следует из теоремы 7, причем .

Докажем её непрерывность.

Пусть u,v[a;b], u+u[a;b], v+v[a;b], y[c;d]. y+y[c;d]

,

.

Т.к. определена на , то в силу выбора значений аргументов все написанные интегралы имеют смысл и |v-y||b-a|.

Т.к. непрерывна на ,то она ограничена на нем, т.е. .

Тогда , .

Оценим первое слагаемое. В процессе доказательства теоремы 7 было показано, что . По определению

выполнено ,

или (что тоже самое) . Итак, при . Следовательно, . По определению непрерывна на множестве .

2) Проверим существование и непрерывность :

, .

f(v;y), -f(u;y) - непрерывны на ₁ по теореме о непрерывности сложной функции.

3) Связь между функциями I и Ф устанавливается формулой: . В силу доказанного выше функцию I(y) можно дифференцировать по правилу дифференцирования сложной функции: . Следовательно,

.