2. Геометрические операции

Геометрические операции изменяют пространственные взаимосвязи между пикселями изображения и приводят к преобразованиям, на­зываемым преобразованиями резинового холста, поскольку их можно представить как процесс распечатки изображения на холсте из ре­зины с последующим растягиванием этого холста в соответствии с опре­деленными правилами. Геометричес­кие операции предполагают выполнение двух основных действий:

• пространственное преобразование - изменение расположения пикселей изображения;

• интерполяция значений яркости - присвое­ние значений яркости пикселам изображения, подвергнутого прост­ранственному преобразованию.

Прямое отображение – увеличение изображений. Пространственное преобразо­вание изображения в изображение может быть записано в следующем виде: , , где функции r и s определяют операции изменения формы исходного изображения.

Такой способ преобразования называется прямым отображением.

Например, ес­ли и , то размеры исходного изображения увеличиваются в два и в три раза по соответствующему направлению (рис.3б). При этом решаются две задачи: создание новой матрицы пикселей и присвоение этим пикселям определенных зна­чений яркости.

Рис.3 Исходное и увеличенное 2х3 изображение

Точное математическое формирование значений новых пикселей приводит к ситуации, при которой в выходном изображении присутствуют пикселы, в которые не отобразился ни один из пикселов исходного изображения (рис.4).

Для решения этой проблемы применяются методы интерполяции. Один из них называется дублирование пикселей и применяется при увеличении изображения в целое число раз. Вначале тиражируется каждый столбец, формируя изображение с увеличенным горизонтальным размером. Затем тиражируется каждая строка. Назначение одинаковой яркости каждому пикселю в тиражируемой группе предо­пределено тем фактом, что все они соответствуют одному и тому же элементу исходного изображения (рис.5).

Рис.4 Матрица для увеличенного изображения с неопределенными пикселами

а) Результат тиражирования столбцов

б) Изображение после тиражирования столбцов и строк

Рис.5 Увеличение изображения по методу дублирования пикселей

При интерполяции по ближайшему соседу вначале на ис­ходное изображение накладывается координатная сетка, шаг которой меньше одного пикселя (рис.6). Значение яркости любому элементу новой матрицы присваивается по значению яркости ближайшего к нему пиксела исход­ного изображения. Метод интерполяции по ближайшему соседу позволяет сформировать значения новых пикселей при увеличении изображения также и в нецелое число раз.

Увеличение с дублированием пикселей и с интер­поляцией по ближайшему соседу выполняется быстро, но может приводить к заметной ступен­чатости, особенно при большой кратности увеличения (рис.7).

а) Увеличение 2х3	б) Увеличение 1.5х1.5

Рис.6 Наложение новой координатной сетки на исходное изображение

по методу интерполяции по ближайшему соседу

Рис.7 Результат увеличения 1.5х1.5 изображения по методу интерполяции

по ближайшему соседу

Бо­лее сложным способом присвоения яркостей элементам увеличен­ного изображения является билинейная интерполяция, в которой исполь­зуются пиксели из четверки соседей. Построенная с помощью метода билинейной интерполяции функция яркости является линейной функцией относительно каждой из своих переменных при любом фиксированном значении другой. Искомое приближение формируется в результате последовательного применения процедур одномерной линейной интерполяции.

Прямое отображение – уменьшение изображений. Изображения уменьшаются аналогич­ными способами, но вместо операции тиражирования строк и столбцов пикселей используются операции удаления строк и столбцов. Например, для уменьшения изображения в два раза удаляются строки и столбцы через один. При уменьшении изображения в нецелое число раз используется сетка с шагом, превышающим шаг расположения исходных пикселей.

Для назначения яркости элементам уменьшенного изображения применяются интерполяция по ближайшему соседу или билинейная интер­поляция. При этом решается задача, связанная с наложением на один и тот же выходной пиксел значений нескольких пикселей исходного изображения. В простом случае процедура рассматривает пикселы как квадраты и подсчитывает долю площади входного пиксела, которая покрывает выходной пиксел, в качестве весового множителя. Каждый выходной пиксел накапливает соответствующие доли входных пикселей, которые учитываются при назначении яркости.

Для интерполяции может использоваться большее число соседей, что приводит к более глад­ким результирующим изображениям. Такой подход используется также при генерации изображений в трехмерной ком­пьютерной графике.

Обратное отображение. При обратном отображении процедура формирования выходного изображения вначале последовательно сканирует пикселы выходного изображения, яркость которых необходимо рассчитать, и согласно функции обратного преобразования изображения в изображение определяет координаты контрольной точки на входном изображении. Затем решается задача интерполяции по пикселам входного изображения для определения величины яркости выходного пиксела.

Как правило, обратное отображение реализуется проще прямого.