11.Лекция. Нелинейное программирование.
11.1. Основные понятия.
Во многих оптимизационных задачах целевая функция, или функции, задающие ограничения, не являются линейными. Такие задачи называются задачами нелинейного программирования.
Пример простой нелинейной задачи:
Предприятие для производства какого-то продукта расходует два средства в количестве х и y соответственно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных вида сырья и т.п., а х и y – затраты факторов производства.
Факторы производства считаются взаимозаменяемыми. Если это «труд» и «машины», то можно применять такие методы производства, при которых величина затрат в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое).
Объем производства, выраженный в натуральных или стоимостных единицах, является функцией затрат производства
Z = f (х, y). Эта зависимость называется производственной функцией.
Совокупные издержки выражаются формулой с1х1 + с2y2 = в.
Требуется при данных совокупных издержках определить количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции Z.
Математическая модель задачи:
Определить такие переменные х и у, удовлетворяющие условиям
с1х1+с2у=в, х≥0, у≥0,
при которых функция z=f(х, у) достигнет максимума.
Ограничения могут отсутствовать. В этом случае производится безусловная оптимизация задачи. Как правило, функция z может иметь произвольный нелинейный вид. В теории нелинейной оптимизации выделяют понятие локального экстремума (локального минимума, локального максимума), глобального экстремума, условного экстремума.
Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше 2 (n≥2).
Разница между глобальным и локальным экстремумами предоставлена на рисунке:
А С В
Точки А и В являются точками локального экстремума, а точка С является точкой глобального экстремума.
Задачи нелинейного программирования делятся на два класса: имеющие безусловный экстремум и имеющие условный экстремум в зависимости от того есть ли дополнительные условия или нет.
11.2. Безусловный экстремум
Рассмотрим задачу безусловного экстремума.
Найти экстремум функции z=х²+ху+у²-2х-3у.
Найдем частные производные.
Первая производная по х: z׳х=2х+у-2
Первая производная по у: z׳у=х+2у-3
Решим
систему уравнений. 2х+у=2
х+2у=3
Получаем критическую точку (1/3; 4/3).
Найдем вторые частные производные.
Вторая производная по х: z׳׳хх=2
Вторая производная по у: z׳׳уу=2
Смешанные
производные z׳׳ху=z׳׳ух=1
Составим определитель 2 1
1
2 = 4-1=3
Следовательно, экстремум есть. Так как z=2>0, то в точке (1/3; 4/3) точка минимума.