Задача сз

Однородный стержень весом Р=24 Н прикреплен шарнирно к невесомым ползунам 1 и 2 (рис. С3.0–С3.9, табл. С3), Коэффи­циенты трения ползунов о направляющие, вдоль которых они могут скользить, равны соответственно f₁ и f₂. К ползунам приложены силы Q₁ и Q₂, показанные на рисунках. Механизм расположен в вертикальной плоскости.

Определить величину, указанную в таблице в строке «Найти», где обозначено: (или ) – наименьшее значение силы Q₁ (или Q₂), при котором имеет место равновесие; (или – наи­большие значения тех же сил, при которых сохраняется равновесие; (или ) – наименьшее значение коэффициента трения, при кото­ром сохраняется равновесие.

Указания. Задача С3 – на равновесие тела под действием плос­кой системы сил при наличии трения скольжения. При решении за­дачи следует рассмотреть предельное положение равновесия, когда . Уравнения равновесия решаются проще, если их составить в виде уравнений моментов относительно точек, где пересекаются линии действия двух неизвестных сил (вместо одного из таких уравнений можно составить уравнение проекций на ось, перпенди­кулярную неизвестной силе).

Условие f₁=0 (или f₂=0) означает, что ползун 1 (или 2) глад­кий; соответствующую силу трения на чертеже не изображать и в уравнения не вводить (введение этой силы, с тем чтобы потом по­ложить f=0, сильно усложнит решение).

Таблица С3

Номер условия	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Q1, H	60	—	50	00	—	—	80	60	—	80
Q2, Н	—	80	60	—	80	100	—	50	100	—
f1	0	0,15	0	0,2	0	0,2	0	—	0	0,15
f2	0,2	0	—	0	0,15	0	0,15	0	0,2	0
Найти

Рис. С3.0	Рис. С3.1
Рис. С3.2	Рис. С3.3
Рис. С3.4	Рис. С3.5
Рис. С3.6	Рис. С3.7
Рис. С3.8	Рис. С3.9

Пример С3. Жесткий угольник ADB весом Р (). расположенный в вертикальной плоскости, прикреплен шарнирами к ползунам 1 и 2 (рис. С3). Линия действия силы Р проходит на расстоянии h от стороны АО. В се­редине стороны AD приложена го­ризонтальная сила Q. Коэффици­ент трения ползуна / о направля­ющие равен f; ползун 2 гладкий.

Дано: Р=40 Н, BD=b=0,8 м, h=0,3 м, а=0,2 м, f₁=0,3. Угол между направляющими 120°. Определить: Q" –наибольшее значение силы Q, при котором со­храняется равновесие.

Рис. С3

Решение. 1. Рассмотрим пре­дельное равновесие угольника, при котором Q=Q". Изображаем действующие на угольник силы , , нормальные реакции , и пре­дельную силу трения , прило­женную к ползуну 1.

То, что сила имеет наиболь­шее возможное числовое значение, означает, что при ее дальнейшем увеличении равновесие нарушится и под действием силы ползун 1 начнет скользить влево, а ползун 2 – вверх. Следовательно, при равновесии сила , удерживающая ползун 1 от скольжения влево, направлена вправо (направление силы при решении подобной задачи надо обязательно устано­вить и показать это направление на рисунке верно).

2. Так как сила трения, выражающаяся через нормальную ре­акцию, действует лишь на ползун 1, то реакцию N₂ можно не опре­делять и составить только два уравнения равновесия, в которые N₂ не войдет. Для этого проведем сначала линии действия неизвест­ных реакций и до их пересечения в точке Е и составим урав­нение , в которое N₁ и N₂ не войдут. Получим, полагая Q=Q":

, (1)

где . Тогда при заданных значениях h и а уравнение (1) примет вид

,

откуда находим

. (2)

Равенство (2) не может дать f_тр<0, поскольку направление си­лы было заранее установлено и показано на рис. С3 верно. Следовательно, должно быть

или . (3)

Для определения N₁ можно составить или уравнение моментов относительно точки, где пересекаются линии действия сил и , или уравнение проекции на ось, перпендикулярную . Составим, проведя ось Вх, уравнение . Получим

. (4)

Отсюда, заменяя F,_v его значением (2), найдем окончательно

(5)

Для определения Q" учтем, что когда равновесие является пре­дельным, то F_тр и N₁ связаны соотношением

. (6)

Подчеркиваем, что в это равенство входят модули сил. В нашем случае , так как было установлено, что F_тр>0 и дается равенством (2). Но утверждать, что в равенстве (5) N₁>0 нет ос­нований, так как направление может быть и противоположно по­казанному на рис. С3. Поэтому рассмотрим оба возможных случая:

а) N₁>0 (реакция направлена так, как показано на рис. С3). Тогда, подставляя в (6) значения F_тр и N₁ из (2) и (5) н уч­тя, что f=0,3, получим

,

откуда находим

. (7)

б) N₁<0 (направление противоположно показанному на рис. С3). Тогда и равенство (6) дает

,

откуда

. (8)

Из полученных результатов (7) удовлетворяет неравенству (3), а (8) не удовлетворяет. Следовательно, окончательный ответ .

Примечания: 1. Если в задаче требуется найти наименьшее зна­чение силы , при котором сохраняется равновесие, то это озна­чает, что при дальнейшем уменьшении силы она не удержит угольник в равновесии и под действием силы ползун 2 начнет скользить вниз, а ползун 1 – вправо; следовательно, в этом случае сила F_тр, удерживающая ползун 1 от скольжения вправо, будет на­правлена влево (противоположно показанной на рис. С3). В ос­тальном весь ход решения остается таким же, как в рассмотренном примере.

2. Если в задаче все действующие силы заданы и надо найти наименьший коэффициент трения , при котором сохраняется рав­новесие, то силу (как и реакции) можно направлять в любую сторону и, составив уравнения равновесия, аналогичные, например, уравнениям (1) и (4) в рассмотренном примере, найти из них F_тp и N). При этом, поскольку действующие силы заданы, для F_тр и N₁ получатся конкретные числовые значения. Эти значения и следует подставить в равенство (6) и найти из него . Если при расчетах получится F_тp<0 или N₁<0, то это означает лишь, что направление соответствующей силы противоположно показанному на рисунке, но результат не изменится, так как в (6) входят модули сил.