Московский Государственный Институт

Электронной Техники (ТУ)

Курсовая работа

По дисциплине:

«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»

Тема:

«Строение конечной группы 20-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями

Выполнил:

Янушевская Л.С.

ЭКТ-35

Проверил:

Клюшин А.В.

Москва

2011

Оглавление:

1. Теоретическая часть………………………………………………………3

   0. 1.1 Понятие группы…………………………………………………………..3

   1. 1.2 Определение подгруппы. Свойства подгрупп………………………….3

   2. 1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими отношениями……..………………………………………………….......4

2. Практическая часть………………………………………………………..6

   0. 2.1 Выразить все элементы через образующие……………………………..6

   1. 2.2 Найти порядки всех элементов…………………………………………..8

   2. 2.3 Переобозначить элементы……………………………………………….8

   3. 2.4 Таблица умножений данной группы……………………………………9

   4. 2.5 Центр группы…………………………………………………………….10

   5. 2.6 Таблица подгрупп, порожденных двумя, тремя элементами…………10

   6. 2.7 Все подгруппы группы G, структура подгрупп………………………..11

3. Список используемой литературы………………………………………12

1. Теоретическая часть.

0. 1.1 Понятие группы.

Определение 1. Пусть G – некоторое множество. Бинарной операцией на G называется произвольное отображение GGG. Если (), то результат бинарной операции чаще всего будет обозначать , где () – знак бинарной операции.

Определение 2. Множество G с бинарной операцией () называется группой, если:

1)

2) , этот элемент е будем называть единицей группы G.

3) , элемент для элемента g будем называть обратным к g.

Если к условиям 1) – 3) добавить условие

4) , то группа G называется абелевой или коммутативной. В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают (+), что мы и будем делать.

Результат бинарной операции () в дальнейшем будем называть произведением. Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких элементов группы можно записывать без скобок.

Определение 3. Центр группы G обычно обозначается Z(G), определяется как Z(G) = {g| gh = hg для любого }.

Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.

Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.

Доказательство. Действительно, если два элемента обладают свойством 2), то .

Предложение доказано.

Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть только один.

Доказательство. Если два элемента и обладают свойством 3) для элемента g, то = = = = . Ч.Т.Д.

Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе называется “таблицей Кэли”.

Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки и столбца пишется элемент gh.

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.