Примеры решения задач

1. Пусть АВСD — параллелограмм, О — точка пересечения диагоналей. Е, F — середины параллельных сторон ВС и АD. Построить на чертеже векторы:

а) . К

В С

А D

Рис. 2.6

, где (рис. 2.6).

б) .

В Е С

А F D

Рис. 2.7

(рис. 2.7).

в) . В С

О

А D

Рис. 2.8

(рис. 2.8).

г) .

(рис. 2.9).

В С

О

А D

Рис. 2.9

д) .

В Е С

О

А F D

Рис. 2.10

(рис. 2.10).

е) В Е С

О

А D

К

Рис. 2.11

= где (рис. 11).

2. По данным векторам и построить вектор .

Решение

Отложим векторы и от одной точки (рис. 2.12): .

Построим . По правилу параллелограмма , поэтому .

В С

В₁

О А А₁

Рис. 2.12

3. В ромбе ABCD (рис. 2.13) выразить векторы через векторы и .

Решение

Рис. 2.13

4. Найти скалярное произведение векторов и выяснить, являются ли они перпендикулярными.

Решение

, следовательно, векторы и перпендикулярны.

5. На плоскости даны векторы (–1; 5), (3; 5), (–2; 8), (3; 1). Вычислить .

Решение

= ((–1; 5) – (3; 5))∙((–2; 8) –(3; 1)) = (–4; 0)∙(–5; 7) = =(–4)(–5) = 20.

6. Какой угол образуют единичные векторы и , если известно, что векторы и перпендикулярны?

Решение

=0 . Учитывая, что , получим

.

Таким образом, имеем .

§ 2. Деление отрезка в данном отношении. Вычисление расстояния между точками. Косое произведение векторов. Площадь треугольника

Если , то .

— формула для вычисления длины вектора или расстояния между точками М₁ и М₂.

Определение. Точка М делит отрезок в отношении , причем , если .

Если и М (х, у) точка делит отрезок М₁М₂ в отношении , то

.

Для середины отрезка .

Определение. Косым произведением векторов и называется произведение длин этих векторов на синус угла между ними, т. е. .

Косое произведение в координатах вычисляется по формуле =.