курсовая работа / ТАУ курсовой / Раздел 2

2.Расчет и построение частотных характеристик исходной системы, оценка устойчивости, расчет К_кр.

Наиболее удобным и наглядным способом оценки устойчивости является критерий Найквиста, в котором используются логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) и фазочастотные характеристики (ФЧХ). Для одноконтурной системы такие характеристики можно легко построить при помощи асимптотической ЛАЧХ и ФЧХ типовых звеньев, входящих в систему. В этом случае ЛАЧХ системы определяется как сумма типовых ЛАЧХ:

где, W_i(jw) – комплексные коэффициенты передачи типовых звеньев.

А величину фазового сдвига определяют по формуле:

где φ_i(w) – фазовые сдвиги типовых звеньев.

В общем случае, если система не содержит в своем составе неминимально-фазовых звеньев, при построении ЛАЧХ и ФЧХ можно руководствоваться следующими правилами:

1. определяется общий (эквивалентный) коэффициент усиления системы;

2. определяются частоты сопряженных звеньев ;

3) определяется начальный наклон ЛАЧХ системы: если в передаточной функции нет сомножителя р, то начальный наклон составляет 0дБ/дек, а начальный фазовый сдвиг φ₀=0 если сомножитель р присутствует в знаменателе, то начальный наклон составит –20дБ/дек, фазовый φ₀=-90˚.

4) через точку 20·lg(К_экв) на частоте w=1, lg(w=1)=0 проводится линия с начальным наклоном, от w=0 (lg(w=0)=-∞) до пересечения с первой сопрягающей частотой;

5) далее при, достижении каждой сопрягающей частоты наклон будет изменяться на +20дБ/дек – если сомножитель (Т_ip+1) в числителе и на -20дБ/дек – если сомножитель (Т_ip+1) в знаменателе; фазовые сдвиги для этих звеньев определяются аналогичным образом, то есть φ_i=+arctg(T_i·w) – для числителя и φ_i=+arctg(T_i·w) – для знаменателя. При этом необходимо также учитывать степень, с которой сомножитель (Т_ip+1) входит в передаточную функцию, показатель степени будет являться множителем при определении наклона и фазы.

Согласно этому критерию система устойчивая в разомкнутом состоянии будет устойчивой в замкнутом состоянии, если ЛАЧХ системы пересекает ось частот раньше, чем ФЧХ пересекает линию φ₀=-180˚ или по-другому, фазовый сдвиг системы на частоте среза (частоте на которой ЛАЧХ пересекает ось частот) будет больше -180˚.

Построение ЛАЧХ и ФЧХ исходной системы.

Исходные данные:

Запишем передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии:

1. Общий коэффициент усиления:

2. Определяем сопрягающие частоты звеньев:

3)Коэффициент усиления системы на ЛАЧХ:

– определяет первоначальную высоту ЛАЧХ системы на вертикальной оси графика на частоте .Наклоны системы:

До частоты : -20дБ/дек,

В области частот: до : -40 дБ/дек,

В области частот: до : -60 дБ/дек,

С области частот, превышающих : -80 дБ/дек.

4.Запишем уравнение для фазочастотной характеристики системы:

ω	0	1	1,33	5	10	ωср=20	100	∞
φ(ω)	-90	-128	-136	-167	-180	-191	-242	-360

Данная система в замкнутом состоянии неустойчива, так как ЛАЧХ системы (см. рис.3) пересекает ось частот позже, чем ФЧХ пересекает линию φ₀=-180˚ или по-другому, фазовый сдвиг системы на частоте среза будет больше -180˚.

Для нахождения и дополнительной проверке на устойчивость воспользуемся алгебраическим критерием устойчивости Гурвица:

При этом существует 2 условия:

• если коэффициенты характеристического уравнения положительны и определители до (n-1)-го порядка тоже положительны, то система устойчива.

• если определитель равен нулю, то система на границе устойчивости.

Следовательно:

После раскрытия скобок:

Составим матрицу вида:

_{– следовательно, система не устойчива.}

_{Для нахождения необходимо:}

Следовательно, при > 76,6 система неустойчива.