Конечные автоматы

Начнем с примера тривиального конечного автомата.

Пусть у нас имеется некоторая кучка камней. В каждый момент состояние кучки q отражается числом, равным количеству камней в кучке. В начальный момент в кучке находилось q₀ камней. Последовательно подаются запросы на добавление или удаление камня из кучки. Нас интересует момент, когда в кучке камней не останется или, что, то же самое, когда кучка придет к состоянию q=0.

Запросы на добавление/удаление камней можно проинтерпретировать как последовательность элементов a_i из алфавита , состоящего всего из двух чисел: 1 и –1.

При появлении элемента a_i состояние кучки изменяется, причем новое состояние можно вычислить как функцию от исходного состояния q_i-1 и пришедшего элемента a_i : q_i-1 = ( q_i , a_i)=q_i + a_i. Функцию  нам будет удобнее задавать таблицей

состояние\входные символы	-1	1
0	0	1
1	0	2
2	1	3
3	2	3

Заметим, что данная табличная функция описывает кучку, состоящую не более чем из трех камней. Попытки занесения лишних камней, также как и попытка изъятия камня из пустующей кучки, игнорируются.

Осталось добавить, что выделенное состояние q=0, с точки зрения конечных автоматов, называется принимающим. Пример можно считать завершенным.

Сведя вместе все выделенные понятия из данного примера, можно дать строгое определение конечного автомата.

Конечным автоматом называется объект, состоящий из пяти множеств:

Q – конечное множество состояний;

A Q – подмножество принимающих состояний;

q₀ Q – начальное состояние;

 – конечный входной алфавит;

: Q  A  Q – функция перехода.

Функция перехода, обычно, задается таблицей, поэтому считается, что вычисление одного значения функции требует времени O(1).

Отметим, что алгоритмы, основанные на конечных автоматах, принципиально не вкладывается в схему алгоритмов, основанных на сравнениях, т.к. значение табличной функции не может быть вычислено в рамках алгоритмов, основанных на сравнениях, за время O(1).

Отступление на тему языка с. Работа со строками

В языке С есть очень удобная библиотека для работы со строками. Большинство функций библиотеки, безусловно, следует выучить и активно ими пользоваться. Описания функций содержатся в файле string.h. Подробное описание функций следует прочитать в документации по языку С. Здесь мы кратко приведем описание нескольких функций, которые будем использовать в дальнейшем при объяснении алгоритмов, чтобы не вводить новых понятий.

int strlen(const char *);//длина строки

char * strcpy(char *, const char *);//копирование второй строки в первую

char * strcat(char *, const char *);//подклеивание второй строки к первой

char * strstr(char *, const char *);//поиск второй строки в первой

int strcmp(const char *, const char *);//лексикографич.сравнение строк

int strncmp(const char *, const char *,int n);//лекс.сравн. первых n байт строк

Алгоритм поиска подстроки, основанный на конечных автоматах

С этого момента мы будем говорить о строках в понимании языка С.

Итак, в строке S, strlen(S)==N, следует найти все вхождения подстроки W, strlen(W)==M, т.е. следует найти все такие 0 i N-M, что strncmp(S+i,W,M)==0.

Будем говорить, что строка b является префиксом строки a, если

strlen(b)<=strlen(a) && strncmp(b,a,strlen(b))==0.

Будем говорить, что строка b является суффиксом строки a, если

strlen(b)<=strlen(a) && strcmp(b,a+strlen(a)-strlen(b))==0.

Основная идея алгоритма следующая: будем последовательно добавлять к входной строке S по одному символу из входного потока данных. При этом, каждый раз будем вычислять значение функции h(S,W), равной максимальной длине l суффикса строки S, совпадающего с префиксом строки W длины l:

strncmp(S+strlen(S)-l,W,l)==0

Например, для S=(ababa), W=(abac): h(S,W)=3.

Если, при этом, выполнится условие

h(S,W)==strlen(W)

то это будет обозначать, что найдено вхождение W в строку S.

Допустим, что в некоторый момент мы знаем значение функции h(S,W). Пусть строка S2 получена с помощью добавления очередного символа a из входного потока данных в конец строки S.

Легко увидеть, что h(S2,W)<= h(S,W)+1 (иначе, мы сразу получим, что строка S имеет суффикс длины большей h(S,W), совпадающий с префиксом W), но зная значение h(S,W) мы сразу получаем значения h(S,W) последних символов S (это – первые h(S,W) символов строки W). Т.о. значение функции h(S2,W) может быть вычислено исходя из знания значения h(S,W) и a.

Итак, мы строим конечный автомат, в котором состояние системы задается величиной H= h(S,W). В качестве входного алфавита будут выступать символы, текста. Принимающим будет такое состояние H, когда H==strlen(W). Начальное состояние H₀=0. О вычислении функции перехода поговорим позднее.

Итак, легко увидеть, что, если не задумываться о вычислении функции перехода, то основная часть алгоритма поиска выполняется за время T=(N), где N – длина входной последовательности текста.

Функцию перехода предлагается вычислять в лоб. Т.е. для случая, когда ищется строка W и когда алфавит состоит из 256 символов, строится таблица tab из 256 столбцов и strlen(W) строк. j-ый столбец будет соответствовать появлению символа с кодом j, а i-ая строка будет соответствовать состоянию автомата i. Для получения значения tab[i][j] следует рассмотреть строку, состоящую из i первых символов строка W с добавленным в конец символом с кодом j. Длина максимального суффикса полученной строки, совпадающего с префиксом W, будет искомым значением tab[i][j].

Для получения значения tab[i][j] нужно не более i раз сравнить подстроку W с подстрокой полученной строки. Итого, tab[i][j] вычисляется за время O(M²). Все значения tab[i][j] вычисляются за время O(256M³), где 256 – количество символов входного алфавита, M – длина искомого слова. Легко увидеть, что для данного алгоритма данная оценка точна. Т.о. мы доказали следующую теорему

Теорема. Поиск подстроки длины M, состоящей из символов алфавита из K символов, в тексте длины N с помощью предложенного алгоритма, использующего конечные автоматы, требует основного времени T₁=(N). На подготовку, зависящую только от искомой подстроки и размера входного алфавита, требуется время T₀=( K M³).