Добавление элемента в дерево

Требуется добавить в дерево вершину v.

Для этого ищем лист, после которого следует вставить v и вставляем v после него.

Алгоритмом, аналогичным поиску элемента, найдем лист c, после которого следует вставить элемент v и вставим его. На языке С вставка вершины в дерево может быть выполнена следующим образом:

STree *Insert(STree *root, STree *v)

{

if(v->value>=root->value)

return root->right==NULL ?

(v->back=root,v->right=v->left=NULL,root->right=v) : Insert(root->right, v);

else

return root->left==NULL ?

(v->back=root,v->right=v->left=NULL,root->left=v) : Insert(root->left, v);

}

Отметим, что здесь активно используется разделитель выражений – запятая. Напомним, что, если несколько арифметических выражений в языке С разделены запятой, то значение всего выражения равно последнему из них.

Поиск минимального и максимального элемента в дереве

STree *SearchMin(STree *root)

{ return root->left==NULL?root: SearchMin(root->left);}

STree *SearchMax(STree *root)

{ return root->right==NULL?root: SearchMin(root-> right);}

Удаление элемента из дерева

Удаление вершины v из дерева поиска не представляет проблем, если данная вершина является листом или имеет всего одного потомка. Иначе, например, из правого поддерева v можно изъять минимальный элемент (самый левый) и поместить его на место удаленного. При этом, дерево останется деревом поиска.

Поиск следующего/предыдущего элемента в дереве

Если у текущего элемента v есть правый потомок, то следующим элементом будет минимальный элемент в поддереве, которое имеет корень v->right. Иначе мы должны подниматься вверх по дереву, пока не встретиться вершина v, являющаяся левым потомком своего родителя. В этом случае родитель этой вершины будет следующим элементом дерева.

STree *SearchNext(STree *cur)

{

if(cur==NULL)return NULL;

if(cur->right!=NULL)return SearchMin(cur->right);

while(cur->back && cur!=cur->back->left)cur=cur->back;

return cur->back;

}

Аналогично ищется предыдущий элемент.

Слияние двух деревьев

Для двух деревьев поиска T₁ и T₂ таких, что все элементы в T₁ меньше или равны всех элементов в T₂ : слияние деревьев в одно дерево поиска T.

Выбираем из дерева T₂ наименьший элемент (самый левый), исключаем его из дерева T₂ и делаем его корнем нового дерева T. Его левым потомком будет корень дерева T₁, а правым – корень дерева T₂ . Дерево T будет деревом поиска.

Далее нам встретится немного другая задача – пусть задан некоторый элемент v и два дерева T₁ и T₂ такие, что все элементы в T₁ меньше или равны v, а все элементы из T₂ - больше или равны. Слить все указанные данные в одно дерево поиска T. Элемент v, в этой ситуации, называется стыковочным. Задача в данной формулировке тривиальна.

Разбиение дерева по разбивающему элементу

Для данной вершины дерева v разбиение дерева поиска T на два дерева поиска T₀ и T₁ таких, что все элементы в T₀ меньше v, и все элементы в T₁ больше или равны v.

Для наглядности рассуждений расположим геометрически дерево поиска таким образом, чтобы вершины были упорядочены по оси OX. Проведем на графике из вершины v вертикальную линию. Все элементы в дереве слева от этой линии – меньше или равны v, а справа – больше или равны.

Вершина v имеет два поддерева, из нее выходящих, в одном из которых все элементы меньше v , а в другом – больше или равны. Назовем эти деревья T₀ и T₁ , соответственно.

Вершины ветви, от v до корня дерева r назовем V’ = {v₁=v,v₂,v₃,…,v_n=r }.

Поддерево, выходящее из вершины, являющейся потомком v_i V’ , назовем T_i (см. рисунок выше).

Легко доказать, что верны следующие факты для любого i:

либо для любого j<i: T_i < v_i  T_j , T_i < v_i  v_j (v_j правому поддереву v_i),

либо для любого j<i: T_i  v_i > T_j , T_i  v_i > v_j (v_j левому поддереву v_i).

Легко увидеть, также, что все дерево T состоит из вершин, принадлежащих либо некоторому T_i , либо V’.

Итак, конструирование двух требуемых поддеревьев будем производить следующим способом. Рассмотрим, сначала поддеревья T₀ и T₁. Будем последовательно добавлять в них данные, чтобы получить искомые деревья.

Будем далее последовательно перебирать вершины v_i для i от 2 до n.

На каждом шаге если v_i  v_i-1, то T_i< v_i T₀ и мы сливаем деревья T_i и T₀ c с помощью стыковочного элемента v_i. Иначе v_i > v_i-1 , тогда T_i v_i> T₁ и мы сливаем деревья T_i и T₁ c с помощью стыковочного элемента v_i .

В силу вышесказанного, в конечном итоге, деревья T₀ и T₁ будут искомым разбиением исходного дерева поддеревья T с помощью вершины v.

