3.4. Анализ замкнутой системы

3.4.1 Расчетный анализ

Расчетный анализ проведем по линейным моделям. Получим матрицы замкнутой системы.

obj=ss(A, B, C, D)

system = feedback(obj, regulator)

[As, Bs, Cs, Ds] = ssdata(system)

Проверим собственные значения системы:

eig(As)

ans = -14.0000

-12.0000

-10.0000

-8.0000

-1.0000

-2.0000

-4.0000

-3.0000

Замкнутая система имеет назначенные собственные значения.

3.4.2 Компьютерная имитация нелинейной системы.

Подключим линейный динамический регулятор к нелинейному объекту, как это показано на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Система с динамическим регулятором

Прежде всего убедимся в том, что положение равновесия устойчиво при малых отклонениях. Для этого подвергнем линеаризации замкнутую систему:

[Ac1, Bc1, Cc1, Dc1]=linmod2('kyps2')

Вычислим собственные значения:

eig(Ac1)

ans = -14.0000

-12.0000

-10.0000

-8.0000

-1.0000

-2.0000

-4.0000

-3.0000

Получены желаемые собственные значения. Положение равновесия устойчиво. Оценим максимальные отклонении маятника и положения каретки, при которых положение равновесия устойчиво, т.е. процессы сходятся. На рис. 3.3 показаны переходные процессы, а – при отклонении каретки, б – при отклонении маятника

а

б

Рис. 3.3. Переходные процессы в системе с регулятором.Синяя кривая – положения маятника, зеленая – положение каретки, а – при отклонении каретки , б – при отклонении маятника

4. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНОГО РЕГУЛЯТОРА

Дискретный регулятор может быть получен двумя способами (рис. 4.0.): дискретизацией непрерывного регулятора и синтезом дискретного регулятора по дискретной модели. В этом разделе представлены оба способа.

Рис. 4.0. Способы получения дискретного регулятора

4.1. Дискретизация непрерывного регулятора

Основным вопросом при дискретизации непрерывного регулятора является выбор периода дискретизации . Необходимо разрешить противоречие между следующими требованиями:

1. слишком малые значения усложняют техническую реализацию.

2. слишком большие – приводят к недопустимой потере информации, в результате чего замкнутая система может оказаться неустойчивой, хотя в непрерывной системе существовала область устойчивости.

Период дискретизации выбирается путем приближения. Для выбора начального значенияможно воспользоваться теоремой Котельникова-Шеннона, которая утверждает, что частота дискретизации должна быть в два раза выше максимальной частоты в спектре сигнала. Спектр сигналов, циркулирующих в контуре регулирования, определяется максимальными по модулю собственными значениями, которые были назначены при синтезе. Примем, что максимальная частота в спектре сигналов в 10 раз выше максимального модуля собственных значений. В нашем случае это- максимальное собственное значение умножить на 10. Для нахождения периода дискретизации возьмем частоту, увеличенную в два раза:

.

Проведем дискретизацию полученного ранее непрерывного регулятора по команде:

[Ard, Brd, Crd, Drd] = c2dm(Ar, Br, Cr, Dr, T)

Ard = 0.1318 -0.0065 -0.0021 0.0124

27.6701 0.8804 -0.0188 0.3528

77.7434 -0.9900 0.6228 1.0583

-42.9546 -0.7949 -0.2537 0.7507

Brd = 0.8686

-27.6637

-77.7639

43.0087

Crd = -9.7859 -198.8359 -60.3874 -20.3874

Drd = 0

Полученные матрицы отвечают разностным уравнениям дискретного регулятора в форме пространства состояний:

Проведем расчетный анализ дискретной системы, изображенной на рис 4.1

Рис. 4.1. Линейная модель дискретной системы

Получим дискретную модель объекта из непрерывной модели командой:

[Ad, Bd, Cd, Dd] = c2dm (A,B,C,D,T)

Ad = 1.0000 -0.0005 -0.0000 0.0200

0 1.0025 0.0200 0

0 0.2455 1.0025 0

0 -0.0491 -0.0005 1.0000

Bd = 0.0001

-0.0001

-0.0050

0.0050

Cd = 1 0 0 0

Dd = 0

Вычислим матрицу замкнутой дискретной системы:

[Acd,Bcd,Ccd,Dcd]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard,Brd,Crd,Drd);

Вычислим собственные значения системы:

abs(eig (Acd))

ans = 1.6076

1.6076

0.1058

1.1914

1.0627

0.9946

0.9392

0.9348

Замкнутая дискретная система оказалась неустойчивой. Причиной этого может быть слишком большой . Чтобы проверить это уменьшимв десять раз.

T = 0.002;

[Ard,Brd,Crd,Drd]=c2dm(Ar,Br,Cr,Dr,T);

[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,T);

[Acd,Bcd,Ccd,Dcd]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard,Brd,Crd,Drd);

abs(eig(Acd))

ans = 0.8185

1.0449

1.0449

1.0117

1.0059

0.9991

0.9937

0.9930

Система вновь оказалась неустойчивой. Попробуем уменьшить в десять раз.

T = 0.0002;

[Ard,Brd,Crd,Drd]=c2dm(Ar,Br,Cr,Dr,T);

[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,T);

[Acd,Bcd,Ccd,Dcd]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard,Brd,Crd,Drd);

abs(eig(Acd))

ans = 0.9807

1.0042

1.0042

1.0012

1.0006

0.9999

0.9994

0.9993

Система вновь оказалась неустойчивой. Попробуем уменьшить в десять раз.

T = 0.00002;

[Ard,Brd,Crd,Drd]=c2dm(Ar,Br,Cr,Dr,T);

[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,T);

[Acd,Bcd,Ccd,Dcd]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard,Brd,Crd,Drd);

abs(eig(Acd))

ans = 0.9981

1.0004

1.0004

1.0001

1.0001

1.0000

0.9999

0.9999

Система вновь оказалась неустойчивой. Попробуем уменьшить в десять раз.

T = 0.000002;

[Ard,Brd,Crd,Drd]=c2dm(Ar,Br,Cr,Dr,T);

[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,T);

[Acd,Bcd,Ccd,Dcd]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard,Brd,Crd,Drd);

abs(eig(Acd))

ans = 0.9998

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

Система стала устойчивой, однако возможны проблемы с последующей реализацией дискретного регулятора.

[numrd1,denrd1]=ss2tf(Ard,Brd,Crd,Drd);

dreg1=tf(numrd1,denrd1)

Transfer function:

1.986 s^3 - 5.958 s^2 + 5.958 s - 1.986

-----------------------------------------------

s^4 - 4 s^3 + 6 s^2 - 4 s + 0.9999

Замкнутая дискретная система в линейном приближении оказалась устойчивой при периоде дискретизации .

Проведем имитационное исследование модели, образованной нелинейным непрерывным объектом и линейным дискретным регулятором для оценки размеров области притяжения (Рис 4.2).

Рис. 4.2. Гибридная модель системы

Экспериментально удалось установить, что регулятор не способен стабилизировать объект при отклонении маятника даже . Переходные процессы при этом показаны на рис. 4.3.а. На рис. 4.3.б увеличен отрезок стартового поведения системы.

Рис. 4.3.а. Переходные процессы в системе с регулятором при .

Рис. 4.3.б. Переходные процессы в системе с регулятором при .

Из графиков видно, что мы не смогли дискретизировать непрерывный регулятор, поэтому попробуем провести синтез дискретного регулятора.