Анализ нелинейной системы

По заданной структурной схеме системы автоматического управления построить её фазовый портрет методом припасовывания. По фазовому портрету выполнить анализ системы автоматического управления и определить её устойчивость.

И

K₁

F(_)

K₃

₁



₂

сходные данные

φ’

T₀=2.8 _ср=0.5

K

-b

₀



₀=111.5 U_max=110

K

b

₁=0.82 b=_ср /K₁

K₂=9.5

K₃=0.0045

Упростим схему. Для этого в заданной стуктурной схеме проведем преобразования с целью разделения в два звена линейную и нелинейную части данной системы.

W(p)

F(₁-₂)

₁



₂

₃

где W(p) – эквивалентная передаточная функция всех линейных звеньев системы.

F(₁-₂) – эквивалентная статическая характеристика всех нелинейных элементов.

;

Решение системы методом припасовывания

По определению W(p)= ₂/₃ , следовательно

W(p)· ₃ = ₂;

₃ = F(₁-₂);

₂ = W(p)·F(₁-₂).

Зная линейную часть преобразуем уравнения:

, где K=К₀К₁К₂К₃

.

Будем считать входное воздействие ₁ системы постоянным, тогда перейдем от величины ₂ к её приращению относительно постоянного воздействия ₁.

Обозначим ₂ - ₁ = x

px = p₂ - p₁;

px = p_2.

С учетом замечаний для приращений получим:

Решение данного уравнения будет строиться исходя из заданной нелинейности. В данном случае нелинейной частью системы является трехпозиционное реле (статическая характеристика дана выше).

В соответствии с системой запишем уравнение, с учетом того, что функция является нечетной, т.е. симметрична относительно начала координат.

Пусть px=V, тогда система приобретет вид:

Найдем решение каждого из уравнений системы по очереди:

1) .

Т.к. изначально система выведена в точку фазовой плоскости М₀ с координатами (x₀,V₀) , то интегрирование будет: от x₀ до x ; от V₀ до V.

2)

Решение аналогично.

3)

- отрезок прямой для интервала

Все уравнения получены. Построим фазовый портрет.

Пусть первая точка будет M₀(0,7;0,5). Первое уравнение имеет вид:

для x > 0.61

Вторая точка будет М₁(0,61;-1,17). Второе уравнение имеет вид:

для –0.61 ≤ x ≤ 0.61

Третья точка будет М₂(-0,61;-0,73249). Третье уравнение имеет вид:

для х < -0.61

Четвертая точка будет М₃(-0,61;0,72159), тогда четвертое уравнение имеет вид:

Пятая первая точка будет M₄(0,61;0,2865). Пятое уравнение имеет вид:

для x > 0.61

Шестая точка будет М₅(0,61;-0,26274). Шестое уравнение имеет вид:

для –0.61 ≤ x ≤ 0.61

Последнее уравнение пересекает ось абсцисс в интервале (-0,61;0,61) в точке М₆(-0,1763;0), следовательно все уравнения для фазового портрета найдены и с этого момента система блуждает с нулевой скоростью и неопределенностью по координате от -0,61 до +0,61, это состояние эквивалентно состоянию устойчивости.

По фазовому портрету можно сделать следующие выводы: анализируемая нелинейная система устойчива и по характеру процесса в системе – переходный процесс быстро затухает.

По заданной структурной схеме составим принципиальную схему системы автоматического регулирования.

Электрическая схема релейного регулирования угловой скорости якоря ЭДв постоянного тока независимого возбуждения. Регулирование скорости осуществляется за счет изменения тока, протекающего через обмотки возбуждения при постоянном напряжении U_я на якоре ЭДв, который имеет две обмотки возбуждения с числом витков ₁=₂=. К средней точке обмоток присоединен один полюс источника постоянного питающего напряжения U, а второй полюс соединен с подвижным контактом трехпозиционного поляризованного реле К. На обмотку управления реле подается управляющий сигнал u_у(t). Статическая характеристика реле соответствует характеристике данной в исходных данных. Электрической нагрузкой реле является одна из обмоток (₁ или ₂) в зависимости от положения его среднего контакта. Если управляющий сигнал |U_у| < |U_сраб|, то обмотки возбуждения ЭДв обесточены. Пусть U_у = U₁ , (U₁ > U_сраб); в этом случае реле подключает напряжение U источника к обмотке ₁. В результате взаимодействия магнитного потока Ф₁=+Ф₀ с током I_я = const нагруженный выходной вал электродвигателя будет вращаться с установившейся угловой скоростью +. Если U_у = -U₂ (-U₂ < -U_сраб), то напряжение U источника будет подключено к обмотке ₂, магнитный поток Ф₂ = -Ф₀ и установившаяся угловая скорость вала будут иметь противоположный знак, т.е. -.