Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
52
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
5.17 Mб
Скачать

Нижегородский государственный технический университет

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Курсовая работа

ПО КУРСУ «ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ».

Вариант 57

Выполнил Проверил

Студент гр.97-ВМ-2 преподаватель

Якунин А.В. Никулин Е.А.

2000

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ.

Произвести расчёт и исследовать схему, изображённую на рис.1 (вариант работы 57).

Рис.1

Где,

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ.

1. Построить все частотные характеристики блоков структурной схемы и принципиальные схемы моделирования блоков на операционных усилителях.

В соответствии с формулами для

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Рассмотрим первое звено

С помощью Mathcad построим требуемые графики

Рис.2 Рис.3

Рис.4 Рис.5

Рис.6 Рис.7

Рис.8

Составим для данной передаточной функции схему на ОУ.

Из таблицы 1.3 [1] перемножая элементы строки 2, столбцов б и в получаем:

Схема представлена на рис.9

Рис.9

На рис.10 показаны ЛЧХ звена, полученные при моделировании в Micro-Cap

Рис.10

Рассмотрим второе звено.

С помощью Mathcad построим требуемые графики

Рис.11 Рис.12

Рис.13 Рис.14

Рис.15 Рис.16

Рис.17

Составим для данной передаточной функции схему на ОУ.

Из таблицы 1.3 [1] перемножая элементы строки 2, столбца б и строки 1, столбца в получаем:

Схема представлена на рис.18

Рис.18

На рис.19 показаны ЛЧХ звена, полученные при моделировании в Micro-Cap

Рис.19

Рассмотрим третье звено.

С помощью Mathcad построим требуемые графики при различных значениях T

Рис.20 Рис.21

Рис.22 Рис.23

Рис.24 Рис.25

Рис.26

Рис.27 Рис.28

Рис.29 Рис.30

Рис.31 Рис.32

Рис.33

Рис.34 Рис.35

Рис.36 Рис.37

Рис.38 Рис.39

Рис.40

Составим для данной передаточной функции схему на ОУ.

Из таблицы 1.3 [1] в соответствии со строкой 3, столбцом в имеем:

Схема представлена на рис.41

Рис.41

Ниже показаны ЛЧХ звена при значениях параметра Т=1 (рис.42 а) и Т=10 (рис.42 б), полученные при моделировании в Micro-Cap. В качестве примера в таблице 1.1 приведены значения амплитуды и фазы при различных значениях частоты, соответствующие значению Т=1, а на рис.42 в, г, д – входной и выходной сигналы для каждой из частот, представленных в этой таблице (рис.42 в – f = 0.015 Гц; рис.42 г – f = 0.15 Гц; рис.42 д – f = 1.5 Гц ). Таблица 1.1.

0

3

20

1

1.4

10

6

45

84

Рис.42 а

Рис.42 б

Рис.42 в

Рис. 42 г

Рис. 42 д

2. Получить ПФ разомкнутой системы (РС).

Метод структурных преобразований.

Y1

X

X1 Y2 Y

Рис.43

Рис.44

Рис.45

Рис.46

Рис.47

Рис.48

Рис.49

Рис.50

Рис.51 Рис.52 Рис.53 Рис.54

Рис.55

Рис.56

Упростим схему, изображённую на рис.43 с помощью алгебраических преобразований.

3. Исследовать устойчивость РС от буквенного параметра методами Гурвица и Михайлова.

Характеристический полином (ХП) в разомкнутой системе имеет вид:

Метод Гурвица

Составим матрицу Гурвица

Для ХП третьей степени необходимые и достаточные условия устойчивости имеют вид

Получаем систему

-0.18 -0.16 0.67 T

Рис.57

Из рисунка видно, что система решений не имеет. Следовательно, разомкнутая система неустойчива при любом Т.

Метод Михайлова .

ХП имеет вид (3.2) . Заменяя в нём получим:

Действительная часть:

Мнимая часть:

В соответствии с критерием Михайлова должно быть:

Учитывая, что имеем . Следовательно, наша система принимает вид:

Корни уравнения (см.(3.3))

Окончательно получаем систему, сходную с (3.4) и делаем вывод, что разомкнутая система не имеет областей устойчивости .

Построим годографы Михайлова разомкнутой системы для значений Т= -1; 0; 1; 2.1; 10. Для этого значения Т подставляем в мнимую и действительную части ХП, полученного в начале пункта. Построение производим с помощью MathCad.

Рис.58

Рис.59

Рис.60

Рис.61

Рис.62

Из рис.59-62 видно, что изменение аргумента годографа её ХП третьей степени составляет всего один квадрант. Следовательно, при всех выбранных значениях Т разомкнутая система является неустойчивой. Система рис.58 также неустойчива, поскольку годограф вращается по часовой стрелке и проходит через два квадранта.

4. Получить ПФ замкнутой единичной отрицательной обратной связью системы (ЗС).

Рис.63

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид (3.1). Вычислим функцию замкнутой системы.

ХП замкнутой системы имеет вид:

Коэффициенты полинома

5. Исследовать устойчивость ЗС от буквенного параметра методами Гурвица и Рауса и получить диапазоны устойчивых и неустойчивых значений параметра в классе вещественных чисел.

Метод Гурвица.

Составим матрицу Гурвица

Для ХП третьей степени необходимые и достаточные условия устойчивости имеют вид

Получаем систему

-0.099 0 2.1 Т Рис.64

Из рис.64 видно, что замкнутая система устойчива в интервале 0<T<2.1 .

Метод Рауса.

Строим таблицу Рауса:

Остальные Р находим по формуле:

Далее, подставляя коэффициенты ХП, имеем:

Критерием устойчивости действительного полинома является постоянство знаков всех элементов первого столбца таблицы Рауса. Так как 20>0, получаем систему:

Нижнее неравенство сходно с (5.3) и его решением является

Таким образом, наша система приобретает вид (5.5). Следовательно, опираясь на рис.64, делаем вывод об устойчивости замкнутой системы на интервале 0<T<2.1.

6. Сформировать набор значений параметра, включающий все граничные значения и по одному значению из каждого диапазона устойчивости и неустойчивости ЗС.

0 2.1 T

Рис.65

На рис.65 штриховкой показан диапазон значений Т , при которых замкнутая система является устойчивой. Для дальнейшей работы выбираем следующие значения параметра : Т= -1, Т= 10 (ЗС неустойчива); Т=0, Т= 2.1 (границы устойчивости ЗС) и Т=1 (ЗС устойчива).

7. Для каждого значения параметра из набора построить частотные характеристики, необходимые для исследования устойчивости ЗС от параметра по критериям Найквиста и Михайлова.

7.1 Устойчивость по критерию Михайлова.

7.1.1. Из рис.58 видно, что при Т=-1 годограф ХП РС имеет изменение аргумента –2 квадранта, что соответствует числу правых корней .

7.1.2. Из рис.59 видно, что при Т=0 годограф ХП РС имеет изменение аргумента –1 квадрант, что соответствует числу правых корней .

7.1.3. Из рис.60-62 видно, что при Т=1, 2.1, 10 годограф ХП РС имеет изменение аргумента 1 квадрант, что соответствует числу правых корней .

7.2 Исследование устойчивости по критерию Найквиста.

Рассмотрим систему, образованную замыканием объекта с ПФ W(s) контуром единичной ООС. Замкнутая система имеет ХП вида (4.2) и ПФ вида (4.1)

Х У Хо Рис.66

Временно разорвём ООС в точке Хо и определим контурные ПФ и ХП разомкнутого контура.

Подставляем значение Т в выражение разомкнутой ПФ (3.1).

7.2.1. Т= -1

Элементарные типовые звенья и их характеристики:

На рис.67-70 представлены ЛЧХ каждого звена и результирующие ЛАЧХ и ЛФЧХ всей ПФ.

Рис.67

Рис.68

Рис.69

Рис.70

Из рис.58 видно, что ХП разомкнутой системы имеет правых корня. На интервале частот, где ,число пересечений граничных уровней фазы равно , что не тождественно отношению . Следовательно, исходя из логарифмического критерия Найквиста, делаем вывод об неустойчивости ЗС с контурной ПФ (7.1). РС также неустойчива, т.к. ЛФЧХ стремится к граничному уровню на интервале положительной ЛАЧХ.

Получим АЧХ системы и построим годографы контурной ПФ в полярной (рис.71) и декартовой (рис.72) системе координат.

Рис.71 Рис.72

Видно , что годограф разомкнутого контура пересекает действительную ось левее точки раза, а должен был бы пересечь раз. Отсюда , в соответствии с частотным критерием Найквиста, делаем вывод об неустойчивости ЗС.

7.2.2. Т= 0

Элементарные типовые звенья и их характеристики:

На рис.73-76 представлены ЛЧХ каждого звена и результирующие ЛАЧХ и ЛФЧХ всей ПФ.

Рис.73

Рис.74

Рис.75

Рис.76

Из рис.59 видно, что ХП разомкнутой системы имеет правый корень. На интервале частот, где ,число пересечений граничных уровней фазы равно , что тождественно отношению . Следовательно, исходя из логарифмического критерия Найквиста, делаем вывод об устойчивости ЗС с контурной ПФ (7.1). РС неустойчива, т.к. ЛФЧХ стремится к граничному уровню на интервале положительной ЛАЧХ.

Получим АЧХ системы и построим годографы контурной ПФ в полярной (рис.77) и декартовой (рис.78) системе координат.

Рис.77 Рис.78

Видно , что годограф разомкнутого контура пересекает действительную ось левее точки раза, а должен был бы пересечь раза. Отсюда, в соответствии с частотным критерием Найквиста, делаем вывод об устойчивости ЗС.

7.2.3. Т= 1

Элементарные типовые звенья и их характеристики:

На рис.79-82 представлены ЛЧХ каждого звена и результирующие ЛАЧХ и ЛФЧХ всей ПФ.

Рис.79

Рис.80

Рис.81

Рис.82

Из рис.60 видно, что ХП разомкнутой системы имеет правый корень. На интервале частот, где ,число пересечений граничных уровней фазы равно , что тождественно отношению . Следовательно, исходя из логарифмического критерия Найквиста, делаем вывод об устойчивости ЗС с контурной ПФ (7.1). РС неустойчива, т.к. на интервале положительной ЛАЧХ сумма переходов ЛФЧХ через граничные уровни составляет .

Получим АЧХ системы и построим годографы контурной ПФ в полярной (рис.83) и декартовой (рис.84) системе координат.

Рис.83 Рис.84

Видно , что годограф разомкнутого контура пересекает действительную ось левее точки раза, а должен был бы пересечь раза. Отсюда делаем вывод об устойчивости ЗС.

7.2.4. Т= 2.1

Элементарные типовые звенья и их характеристики:

На рис.85-88 представлены ЛЧХ каждого звена и результирующие ЛАЧХ и ЛФЧХ всей ПФ.

Рис.85

Рис.86

Рис.87

Рис.88

Из рис.61 видно, что ХП разомкнутой системы имеет правый корень. На интервале частот, где ,число пересечений граничных уровней фазы равно , что тождественно отношению . Следовательно, исходя из логарифмического критерия Найквиста, делаем вывод об устойчивости ЗС с контурной ПФ (7.1). РС неустойчива, т.к. на интервале положительной ЛАЧХ сумма переходов ЛФЧХ через граничные уровни составляет .

Построим годограф контурной ПФ.

Рис.89

В данном случае ЗС находится на границе устойчивости (нейтральна), т.к. годограф проходит через точку и при уменьшении параметра Т система становится устойчивой (число переходов левее точки Найквиста равно и отношение ).

7.2.5. Т= 10

Элементарные типовые звенья и их характеристики:

На рис.90-93 представлены ЛЧХ каждого звена и результирующие ЛАЧХ и ЛФЧХ всей ПФ.

Рис.90

Рис.91

Рис.92

Рис.93

Из рис.62 видно, что ХП разомкнутой системы имеет правый корень. На интервале частот, где ,число пересечений граничных уровней фазы равно 1, что не тождественно отношению . Следовательно, исходя из логарифмического критерия Найквиста, делаем вывод об неустойчивости ЗС с контурной ПФ (7.1). РС неустойчива, т.к. на интервале положительной ЛАЧХ сумма переходов ЛФЧХ через граничные уровни составляет 1 .

Построим годограф контурной ПФ.

Рис.94

Видно , что годограф разомкнутого контура (контурной ПФ) пересекает действительную ось левее точки раза, а должен был бы пересечь раза. Отсюда делаем вывод об неустойчивости ЗС.

8. Выбрать из набора параметров значение, при котором РС устойчива, получить числовую ПФ системы с этим параметром и построить каноническую схему моделирования РС на ОУ.

Т.к. РС не имеет областей устойчивости, принимаем значение Т = 1 в (3.1) и получаем значение ПФ.

Рис. 95

Построим каноническую схему

Рис. 96

На рис.97, 98 приведена электрическая схема ПФ и её ЛЧХ, полученные при моделировании в Micro-Cap, а также реакция системы на импульсное (ударное)(рис.98 б) и единичное (ступенчатое) (рис. 98 в,г) воздействия.

Рис.97

Ниже приведён расчёт элементов схемы.

Интеграторы на ОУ Х2-Х4 имеют следующие параметры элементов:

Рассмотрим сумматор на ОУ Х1.

Рассмотрим сумматор на ОУ Х5.

На рис. 98 а представлены ЛЧХ схемы на ОУ. Рис. 98 б иллюстрирует реакцию системы на импульс длительностью одна микросекунда и амплитудой один мегавольт. Рис.98 в, г демонстрируют то, как система реагирует на единичное (ступенчатое) воздействие (и -импульс, и ступенька начинаются в момент времени, равный пяти миллисекундам).

Рис.98 а

Рис.98 б

Рис.98 в

Рис.98 г

9. Получить оценки качества временных характеристик РС спектральными и частотными методами.

По (3.1) со значением параметра Т=1 получаем ПФ РС

(9.1)

Полюса ПФ: .

Нули ПФ: .

Корни ПФ изображены на рис.98.

Рис. 98.

9.1. Спектральные оценки качества переходного процесса.

Основные спектральные параметры:

  • Степень устойчивости - расстояние от мнимой оси до ближайшего левого полюса ПФ.

  • Степень быстродействия - расстояние от мнимой оси до наиболее удалённого левого полюса ПФ. .

  • Степень жёсткости . Система является жёсткой.

  • Степень колебательности - тангенс угла  раствора для ближайших к мнимой оси левых комплексных полюсов.

Основные спектральные оценки качества:

  • Время регулирования . .

  • Верхняя оценка перерегулирования . .

  • Степень затухания .

  • Число колебаний .

9.2. Частотные оценки качества переходного процесса.

Получим ВЧХ ПФ, заменяя в (9.1) s на j .

Отсюда получаем ВЧХ

(9.2)

На рис.99, 101, 102 представлены графики этой характеристики. Рис.100 показывает положение первой точки перегиба (выпуклости \ вогнутости) ВЧХ.

Рис.99

Рис.100

Рис. 101

Рис.102

  • Начальное значение ПХ .

  • Установившееся значение ПХ .

  • Время регулирования :

По частоте полосы пропускания ВЧХ (рис. 101) : получаем нижнюю границу времени регулирования

.

По частоте первого резкого перегиба ВЧХ (рис. 100, 101) получаем верхнюю границу времени регулирования .

Т. о. .

  • Оценка перерегулирования. Т. к. ВЧХ имеет , то ПХ удовлетворяет условию .

  • Оценки параметров колебаний ПХ

Коэффициент резонанса на частоте (рис. 102).

Коэффициент демпфирования

Частота колебаний ; Гц .

Постоянная времени с .

Показатель затухания колебаний .

Степень колебательности .

Т.к. комплексные полюсы ПФ не являются доминирующими в её спектре, то резонансный пик ВЧХ располагается в среднечастотной области. Оценки параметров колебаний являются слишком грубыми.

Полученные показатели сведены в таблицу.

Таблица 9.1.

Показатель

Спектральные оценки

Частотные оценки

Степень устойчивости 

1

Степень быстродействия 

13.483

Степень жёсткости r

13.483

Степень колебательности 

0

Время регулирования

Перерегулирование

Степень затухания 

1

Число колебаний

0

0

Начальное значение ПХ

0

Установившееся значение ПХ

-2

10 Рассчитать частотными методами временные характеристики РС, построить их графики и сравнить показатели качества с оценками из пункта 9.

10.1. Импульсная характеристика w(t).

Формула разложения Хевисайда для данной характеристики имеет вид:

(10.1)

, где - корни полинома A(s); - кратность i-го корня; - ПФ РС (см. 9.1).

Т.к. в нашем случае все полюса действительные с кратностью 1, то формула получения импульсной характеристики значительно упрощается:

(10.2)

Окончательно получаем:

(10.3)

График ИХ представлен на рис.103

Рис.103

Рис. 104

График на рис.103 иллюстрирует неустойчивость системы. Пунктиром на графике рис.103 и отдельно на рис.104 изображена ИХ без расходящейся составляющей .

10.2. Переходная характеристика h(t).

ПХ находим с помощью таблицы преобразования Лапласа.

(10.4)

,где - обратное преобразование Лапласа.

Разложим выражение в фигурных скобках на слагаемые:

Получаем:

ПХ имеет вид:

(10.5)

На рис.105 представлен график ПХ.

Рис.105

Рис.106

Начальное значение h(0) совпадает c оценкой пункта 9. Оценка установившегося значения расходящейся ПХ некорректна, т.к. её ПФ имеет правый полюс s=1.483 . График h(t) на рис.105 иллюстрирует неустойчивость системы. Пунктиром на рис.105 и отдельно на рис.106 изображена ПХ без расходящейся составляющей .

11. Рассчитать реакцию РС на нетиповое входное воздействие при нулевых начальных условиях, построить графики входного и выходного сигналов.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.