1.2 Составление функциональной схемы линейной системы

Составим функциональную схему системы парогазовой установки:

Рисунок 2 – Функциональная схема системы парогазовой установки

Каждому узлу системы соответствует своя передаточная функция:

;

;

;

;

;

;

;

где к - коэффициент усиления;

T, Т₁, Т₂ - постоянные времени, сек;

- декремент затухания колебания;

С учетом коэффициентов, получим:

; ; ; ; ; ; ;

1.4 Найдём общую передаточную функцию системы.

- общая передаточная функция системыпарогазовой установки

Теперь общая передаточная функция приведена к стандартному виду.Полученные передаточные функции могут быть использованы для решения широкого круга задач анализа и синтеза. С их помощью можно определить как установившееся значение искомой переменной, так и проводить исследования в частотной и временной областях. Для анализа динамических свойств системы управления рассчитываются переходная и импульсная характеристики.

Рисунок 3- Вид общей передаточной функции

1.5 Определение устойчивости линейной системы

Исследуем устойчивость системы по критерию Гурвица:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительными.

По коэффициентам характеристического уравнения составляется определитель Гурвица.

Для этого по главной диагонали определителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго, затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз с убывающим индексом.

Составленный определитель называется главным определителем Гурвица,

он имеет порядок совпадающий с порядком характеристического уравнения. Из главного определителя составляются частные определители первого, второго, третьего и так далее порядков их образования из главного определителя.

Вычисляя главный определитель и частные определители, Гурвиц установила, для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители были положительны. Если хотя бы один определитель отрицательный, то система неустойчива.

Запишем характеристическое уравнение:

Запишем другие определители и вычислим их:

;;;;;;;;;;.

Определители имеют один знак, следовательно, система является устойчивой, согласно критерию Гурвица.

Определение устойчивости системы по критерию Михайлова

Система будет устойчивой если при изменении от нуля до бесконечности вектор, начав свое движение из точки лежащей на положительной вещественной оси комплексной плоскости, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль обходит последовательно n – квадрантов комплексной плоскости, уходя в последнем в бесконечность.

Произведём замену p на jw

Построим годограф Михайлова:

Рисунок 4 – Годограф Михайлова системы

Из графика годографа Михайлова видно что система является устойчивой.

Построение переходного процесса системы

Переходная функция - это реакция системы на ступенчатое входное воздействие.

Для того чтобы построить переходный процесс используем обратное преобразование Лапласа:

Рисунок 5 – График переходного процесса

Анализируя полученный график можно сделать вывод, что полученная линейная система является устойчивой и мы можем определить прямые оценки качества:

- t_перех = 3.32 c - время переходного процесса

- t_нар= 5.1c - время нарастания регулируемой величины

- t_сог= 5,1 c - время первого согласования

- N= 1 - число колебаний системы

Построение амплитудно частотной характерисики системы

АЧХ строится для того, чтобы определить косвенные оценки качества системы.

Для того, чтобы определить АЧХ системы, необходимо в передаточной функции _W(p) заменить р на jw, знаменатель уравнения помножить на сопряженное выражение, выделить мнимую и вещественную части по формулам определить АЧХ.

;;

; ; ; ; ; ; ;

Рисунок 6 – Амплитудно-частотная характеристика системы

Определяем косвенные оценки качества системы:

- амплитуда при нулевой частоте A(0)= 194,4

- максимальная амплитуда Аmax= 0,99

- резонансная частота - это частота, при которой амплитуда максимальна

- полоса пропускания – это диапазон частот от до , который определяется при срезе величиной

0,96;

(₁, ₂) = (0,076; 0,0996);

Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ

Определение запаса устойчивости системы по логарифмической амплитудно-частотной характеристике и логарифмической фазо-частотной характеритике.

Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ нужно для определения устойчивости системы. Для определения устойчивости необходимо из точки, где ЛФЧК принимает значение – 180⁰ провести вертикальную линию до пересечения с ЛАЧХ. Если ЛАЧХ в этой точке имеет отрицательное значение, то замкнутая САУ устойчива. Если ЛАЧХ в этой точке имеет положительное значение, то замкнутая САУ не устойчива. По ним также определяются: запас устойчивости по амплитуде – это величина в децибелах, на которую надо увеличить коэффициент усиления, чтобы привести систему к границе устойчивости; запас устойчивости по фазе – это угол, на который надо уменьшить фазочастотную характеристику, чтобы ее значение равнялось – 180⁰.

Для этого разомкнем систему и запишем для нее общую передаточную функцию.

w1(p)

w2(p)

w3(p)

w4(p)

w6(p)

w7(p)

w5(p)

w8(p)

Рисунок 9 – Разомкнутая структурная схема

Общая передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

W_{общ.разом}(р)=W₁(р)*W₂(р)*W₃(р)*W₄(p)*W₅(p)*W₆(p)*W₇(p)*W₈(p)

По данной передаточной функции построим ЛАЧХ и ЛФЧХ

;;;;;;;.

Построим ЛАЧХ

Определим запасы устойчивости:

запас устойчивости по амплитуде

запас устойчивости по фазе

Построим ЛФЧХ

Заключение