55. Тригонометрическое нивелирование. Вывод формулы определения превышения.

Тригонометрическое нивелирование называют также геодезическим или нивелированием наклонным лучом. Оно выполняется теодолитом; для определения превышения между двумя точками нужно измерить угол наклона и расстояние. В точке А устанавливают теодолит, в точке В - рейку или веху известной высоты V. Измеряют угол наклона зрительной трубы теодолита при наведении ее на верх вехи или рейки (рис.4.38). Длину отрезка LK можно представить как сумму отрезков LC и CK с одной стороны и как сумму отрезков LB и BK с другой. Отрезок LC найдем из ΔJLC: LC = S*tg ν , остальные отрезки обозначены на рисунке.

Рис.4.38

Тогда LC + CK = LB + BK       и      S * tg( ν) + i = V + h.

Отсюда выразим превышение h h = S * tg(ν) + i - V.                  (4.67)

Выведем формулу превышения из тригонометрического нивелирования с учетом кривизны Земли и рефракции. Вследствие рефракции луч от верхнего конца вехи идет по кривой, а визирная линия трубы будет направлена по касательной к этой кривой в точке J. Визирная линия трубы пересечет продолжение вехи в точке L₁, а не L. Проведем уровенные поверхности в точках A, B, J (рис.4.39).

Проведем касательную к уровенной поверхности в точке J и обозначим: высоту прибора - i, высоту вехи - V, горизонтальное проложение линии AB - S.

Превышение точки B относительно A выражается отрезком BK. Отрезок L₁K на рис.4.39 можно выразить через его части двумя путями:

L₁K = L₁E + EF + FK, L₁K = L₁L + LB + BK.

Рис.4.39

Отрезок L₁E найдем из Δ JL₁E. Этот треугольник можно считать прямоугольным, так как угол L₁EJ очень мало отличается от прямого, всего лишь на величину центрального угла ε =(S / R)*r. Этот угол при S = 1 км не превосходит 0.5'.

Итак, L₁E = JE * tg(ν),

но поскольку JE = S, то L₁E = S * tg(ν).

Отрезок EF выражает влияние кривизны Земли: EF = p = S² / 2*R;

отрезок FK равен высоте прибора FK = i; отрезок L₁L выражает влияние рефракции:

L₁L = r * (S² / 2*R) * k = p * k;

отрезок LB равен высоте вехи V.

Таким образом, S * tg(ν) + p + i = r + V + h,

откуда h = S * tg(ν) + (i - V) + (p - r),

или h = S * tg(ν) + (i - V) + f.                   (4.68)

При измерении расстояния с помощью нитяного дальномера формула превышения несколько изменяется; так как S = (Cl + c)* Cos²(ν), то

h = 0.5*(Cl + c)*Sin(2*ν) + i - V + f = h'+ i - V + f,

Величину h'= 0.5*(Cl + c)*Sin(2*ν) называют тахеометрическим превышением. При S = 100 м величиной f можно пренебречь, так как

f = 0.66 мм . S² ,

где S - расстояние (в сотнях метров). Ошибка измерения превышения из тригонометрического нивелирования оценивается величиной от 2 см до 10 см на 100 м расстояния. При последовательном измерении превышений получается высотный ход; в высотном ходе углы наклона измеряют дважды: в прямом и обратном направлениях.