курсовая работа / Тау12 / КП 1 - x

Дано:

структурная схема системы управления (СУ)

Провести анализ устойчивости СУ методами:

Провести (1) структурный анализ САУ и свести ее структурную схему к одноконтурной, (2) вычислить передаточные функции в операторной форме для замкнутой и разомкнутой системы, осуществить переход к передаточным функциям в форме изображений по Лапласу, а затем к частотным передаточным функциям и (3) выделить их действительную и мнимую часть, по ним (4) выполнить построение АФЧХ разомкнутой и замкнутой систем, (5) произвести анализ устойчивости САУ произвольно выбранным методом и (7) определить запасы устойчивости по амплитуде и фазе по АФЧХ разомкнутой системы или ее логарифмическим характеристикам, (8) выполнить оценку качества управления прямым методом, для чего построить график переходного процесса и определить по нему все показатели качества, (9) сделать вывод о качестве управления и сформировать рекомендации для повышения показателей качества.

Передаточная функция разомкнутой системы в операторной форме:

Передаточная функция замкнутой системы в операторной форме:

Передаточная функция разомкнутой системы в изображениях по Лапласу:

Передаточная функция замкнутой системы в изображениях по Лапласу:

Перейдем к частотным передаточным функциям, в связи с чем произведем замену комплексной переменной s на чисто мнимую переменную j

Выделим действительную и мнимую части:

Построим АФЧХ разомкнутой САУ:

Построим АФЧХ замкнутой САУ:

Определим устойчивость разомкнутой системы прямым методом Ляпунова:

согласно критерию Ляпунова, линейная система является устойчивой тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения системы лежат слева от мнимой оси, то есть их действительные части строго меньше 0, т.к. в этом случае декремент затухания больше единицы.

Составим характеристическое уравнение разомкнутой системы, оно получается из знаменателя передаточной функции путем замены оператора p на переменную :

Определим корни характеристического уравнения:

Как видно, все корни действительные (апериодическая система 3 порядка), меньшие 0, следовательно разомкнутая система устойчива.

Устойчивость замкнутой системы определим по критерию Найквиста:

система, устойчивая в разомкнутом состоянии, сохраняет ее в замкнутом, если ее АФЧХ при изменении частоты от 0 до бесконечности не охватывает точку с координатами (-1; j0).

Как видно из ранее построенной АФЧХ, она не охватывает данную точку, следовательно система является устойчивой.

Построим ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы в полулогарифмическом масштабе относительно оси частоты:

Определим запас устойчивости по фазе:

Определим запас устойчивости по амплитуде:

Как видим, запасы устойчивости получились достаточно высокими.

Построим ЛАЧХ и ФЧХ замкнутой системы в полулогарифмическом масштабе относительно оси частоты:

Определим запас устойчивости по фазе:

Определим запас устойчивости по амплитуде:

Запас устойчивости по амплитуде составляет 21 дБ, а по фазе 83^о, следовательно система будет работать устойчиво в широких пределах изменения внешних условий.

Определим качество регулирования прямым методом.

Построим переходный процесс в разомкнутой системе.

Подадим на вход системы ступенчатое воздействие:

Проведем обратное преобразование Лапласа:

Установившееся значение:

Построим график:

Определим показатели качества регулирования:

время переходного процесса (время регулирования), за которое он входит в пределы допустимых отклонений порядка 5%

время первого согласования, за которое сигнал в первый раз достигает установившегося значения

число колебаний за время регулирования

так как процесс апериодический

максимальное значение сигнала на выходе

перерегулирование, отношение максимального отклонения от установившегося значения к этому значению, выраженное в процентах

время нарастания, за которое сигнал увеличивается до максимального значения

период и частоту колебаний и декремент затухания определить невозможно по причине остутствия колебаний

Построим переходный процесс в замкнутой системе.

Подадим на вход системы ступенчатое воздействие:

Проведем обратное преобразование Лапласа:

Установившееся значение:

Построим график:

Определим показатели качества регулирования:

время переходного процесса (время регулирования), за которое он входит в пределы допустимых отклонений порядка 5%

время первого согласования, за которое сигнал в первый раз достигает установившегося значения

число колебаний за время регулирования

максимальное значение сигнала на выходе

перерегулирование, отношение максимального отклонения от установившегося значения к этому значению, выраженное в процентах

время нарастания, за которое сигнал увеличивается до максимального значения

период и частота колебаний

декремент затухания

Разомкнутая система неработоспособна. Для замкнутой системы перерегулирование слишком велико (88%), большое количество колебаний за время переходного процесса (11), высокая частота колебаний (105 Гц), выраженный резонанс, однако, если эти значения допустимы для конкретной задачи, систему можно применять на практике. Для улучшения характеристик может потребоваться снижение коэффициента усиления разомкнутой системы.