2.6. Теорема Левi

Теорема 2.6.1 (теорема Левi про критерiй слабкої збiжностi).

Нехай послiдовнiсть функцiй розподiлу з характеристичними функцiями .

Для того, щоб мала мiсце слабка збiжнiсть , до деякої функцiї розподiлу F, необхiдно i достатньо, щоб характеристичнi функцiї ' збiгались при кожному до функцiї , яка неперервна в нулi. У цьому випадку є характеристичною функцією для функцiї розподiлу F.

Доведення.

а) необхiднiсть випливає з означення слабкої збiжностi, тому що гармонiки є неперервними обмеженими функцiями при кожному .

б) достатнiсть. Нехай , де функція неперервна в нулi.

Доведемо спочатку, що послiдовнiсть є слабко компактною.

Нехай Враховуючи означення характеристичної функцiї, абсолютну збiжнiсть кратного iнтегралу та теорему Фубiнi про кратний та повторнi iнтеграли, обчислимо

Справедливiсть цих нерiвностей випливає, по-перше, з невiд’ємностi

оскiльки , а по-друге, з оцiнки

З отриманої нерiвностi та з теореми Лебега про мажоровану збiжнiсть

знаходимо

оскiльки функцiя неперервна в нулi та

Отже, виконана умова теореми про критерiй слабкої компактностi по-

слiдовностi функцiй розподiлу, i послiдовнiсть є слабко компактною.

За означенням слабкої компактностi знайдемо пiдпослiдовнiсть

та функцiю розподiлу F такi, що Нехай – характеристична функцiя F. Тодi внаслiдок вже доведенного твердження необхiдностi Отже, є

характеристичною функцiєю функцiї розподiлу F.

Доведемо, що Припустимо, що ця збiжнiсть не має мiсця. Тодi за означенням слабкої збiжностi знайдуться функцiя та нескiнченна пiдпослiдовнiсть такi, що

Оскiльки є пiдпослiдовнiстю слабко компактної множини, то знайдеться слабко збіжна пiдпiдпослiдовнiсть

де G – деяка функцiя розподiлу. Оскiльки , тo . Отже, G = F за теоремою про однозначнiсть вiдповiдностi мiж функцiями розподiлу та характеристичними функцiями. Але в цьому випадку

що суперечить нерiвностi, яка отримана вище: вiдстань мiж правою та лiвою частинами повинна улла б бути не меншою за .

Отже, вiд супротивного .

Теорема 2.6.2 (про рiвномiрну збiжнiсть характеристичних функцiй). Нехай та – характеристичнi функцiї i при всiх t. Тодi функцiї є неперервними за t рiвномiрно по t i n, а збiжнiсть є рiвномiрною за t на кожному обмеженому iнтервалi.

Доведення.

Нехай – функцiя розподiлу, що вiдповiдає . За теоремою Левi про критерiй слабкої збiжностi послiдовнiсть слабко збiгається, а тому є слабко компактною. Отже, за теоремою Прохорова про критерiй слабкої компактностi . Звiдси

тобто функцiї є рiвномiрно за n i t неперервними.

Якщо вказана в теоремi збiжнiсть не є рiвномiрною на iнтервалi [-T; T],

то знайдуться i такi, що для всiх

n. Переходячи до пiдпослiдовностi, можемо вважати, що . Отже,

де враховано рiвномiрну неперервнiсть , що доведена вище. Отримана

суперечнiсть свiдчить про справедливiсть шуканого твердження.

Теорема 2.6.3 (про добуток слабко збiжної послiдовностi зi збiжною). Нехай послiдовнiсть випадкових величин така, що , а числова послiдовнiсть . Тодi

Доведення. Позначимо – характеристичну функцiю

Зi збiжностi та з теореми про рiвномiрну збiжнiсть характеристичних функцiй виводимо, що вказана збiжнiсть є рiвномiрною за t на обмеженому iнтервалi. Оскiльки послiдовнiсть є обмеженою, то внаслiдок рiвномiрностi збiжностi для кожного t, що за теоремою Левi про критерiй слабкої збiжностi доводить шукане твердження.