1.1.3. Диференціювання та інтегрування твірних функцій

Означення 1.1.7. Нехай - твірна функція. Похідною цієї функції називається функція

Інтегралом називається функція

Операція диференціювання обернена до операції інтегрування:

Операція ж інтегрування похідної призводить до функції з нульовим вільним членом, і тому відмінна від вихідної функції.

Зауваження.

Легко бачити, що для функцій, представлених у вигляді степеневих рядів, формула для похідної відповідає звичайній. Формула для інтеграла відповідає значенню інтеграла із змінною верхньою межею.

Останнє зауваження дозволяє обчислити (тобто виразити в термінах елементарних) твірних функцій для великого числа різних послідовностей. Обчислимо, наприклад, твірну функцію

Помноживши функцію f на s² і диференціюючи, отримаємо

звідки

1.2. Твірні функції для відомих послідовностей

1.2.1. Геометрична прогресія

Найпростіша послідовність – це постійна послідовність 1,1,1,….. Твірна функція для неї має вигляд

( 1.2.1)

і її неважко виразити через елементарні твірні функції. Дійсно, помноживши обидві частини рівності (1.2.1) на , отримаємо

звідки (1.2.2)

Те саме виведення із незначними змінами проходить для довільної послідовності виду

звідки

і

(1.2.3)

Наведений вище виклад представляє собою, як ніщо інше, як відоме виведення формули для суми геометричної прогресії. Результат цього викладу уточнюється, як неважко бачити, із означенням твірної функції .

1.2.2. Послідовність Фібоначчі.

Відома послідовність Фібоначчі означається своїми початковими членами і відношенням

(1.2.4)

Із цього співвідношення легко отримати початок послідовності Фібоначчі

1,1,2,3,5,8,13,21,34…

в якій кожний член, починаючи з , дорівнює сумі двох попередніх. Щоб вивести формулу твірної функції

(1.2.5)

помножимо обидві частини рівності (6) на . Отримаємо

=, або ,

звідки

. (1.2.6)

Отриману формулу можна розуміти як композицію двох твірних функцій - і , тобто

+² +³+…

Такий розклад, звичайно, не дуже зручний, бо в його членах перемішані різні степені змінних і він не дає звичайної формули для коефіцієнтів. Краще представити дріб у вигляді суми елементарних дробів:

,

де , – корені рівняння . Із останнього розкладу отримуємо

.

Тому

(1.2.7)

Тут ми користувались тим, що

Другий спосіб виведення твірної функції для чисел Фібоначчі використовує елементарні поняття лінійної алгебри. Розглянемо пару послідовних чисел Фібоначчі як координати вектора в двохвимірному просторі :

Тоді співвідношення (2.4) можна інтегрувати як правило переходу від вектора до вектора :

Ф:.

Останнє перетворення лінійне, і його можна записати у матричній формі:

Ф: Ф.

Перехід від вектора до вектора виконується шляхом повторного перетворення Ф, і т.д. таким чином. Твірна функція для векторної послідовності Фібоначчі приймає вигляд

=

Тут через І позначена одинична матриця , і ми використали до векторної твірної функції виведення твірної функції для геометричної прогресії. Єдина відмінність в результаті: вираз як обернена матриця до матриці

Явне вираження для чисел Фібоначчі можна отримати, обчисливши матрицю для довільного. Для цього матрицю Ф треба діагоналізувати, представивши її у вигляді

Ф=

де – діагональна матриця, а матриця орректноик. Маємо,

.

і вирази для чисел отримаємо рівність (1.2.8).