
- •Розділ 1 твірні функції
- •1.1. Формальні степеневі ряди і твірні функції.
- •Дії над формальними степеневими рядами. Елементарні твірні функції
- •1.1.1. Твірні функції і дії над ними
- •1.1.2. Елементарні твірні функції
- •1 І довільне комплексне число.
- •1.1.3. Диференціювання та інтегрування твірних функцій
- •1.2. Твірні функції для відомих послідовностей
- •1.2.1. Геометрична прогресія
- •1.2.2. Послідовність Фібоначчі.
- •1.2.3. Рекурентні співвідношення і раціональні твірні функції
- •1.2.4. Добуток Адамара раціональних твірних функцій.
- •Розділ 2. Характеристичні функції
- •2.1. Однозначність відповідності
- •2.2. Властивостi характеристичної функцiї
- •2.3. Інші інтегральні перетворення
- •2.4. Генератриси випадкових величин
- •2.5. Формула обертання для характеристичної функцiї
- •2.6. Теорема Левi
- •2.7. Сумiсна характеристична функцiя та слабка збiжнiсть векторiв
- •2.8. Класична центральна гранична теорема
- •Розділ 3
- •3.1. Мета і зміст бжд
- •3.2. Організація навчально-виховного процесу
- •Висновок
2.3. Інші інтегральні перетворення
Одночасно з характеристичними функціями у теорії ймовірностей використовують інші види перетворень.
Означення
2.3.1.
Твірною функцією моментів випадкової
величини
називається така функція змінної
у
припущенні, що величина під знаком
сподівання інтегрована для всіх
з деякого околу нуля.
Твірна функція моментів розкладається у ряд Тейлора
Логарифмічне
перетворення
називається твірною функцією кумулят.
Коефіцієнти
розкладу
у ряд Тейлора
називаються
кумулянтами (семіінваріантами) величини
.
Означення
2.3.2 Перетворенням
Лапласа
випадкової
величини
називається така функція дійсної змінної
Очевидно,
що для невід'ємних величин
перетворення Лапласа визначено орректно
та є аналітичною функцією
Зауважимо, що твердження теореми про основні властивості характеристичних функцій, як і інші властивості характеристичних функцій, з необхідними модифікаціями виконуються як для всіх функцій твірних моментів, так і для перетворень Лапласа.
2.4. Генератриси випадкових величин
Для цілочисельних величин використовують метод генератрис, які є дискретними аналогами характеристичних функцій.
Означення
2.4.1.
Нехай
– невід'ємна цілозначна випадкова
величина з розподілом
Генератрисою випадкової величини
називається генератриса послідовності
:
Остання формула є наслідком теореми про обчислення математичного сподівання функції від дискретної величини.
Теорема 2.4.2 (про властивості генератрис).
а)
ряд
абсолютно
збігається при
та однозначно визнає розподіл
.
б)
в)
при
.
г)
д)
якщо величини
е)
) якщо величини
та
– незалежні в сукупності, а величина
є сумою випадкового числа
випадкових доданків
вигляду
то її генератриса є суперпозицією генератрис
Доведення.
а)
випливає зі збіжності ряду
,
однозначність є наслідком формули
обертання
Остання
виводиться з ортогональності гармонік
у просторі інтегрованих за квадратом
функцій
:
б) і в) очевидні.
г)
при
похідну можна внести під знак суми ряду,
оскільки ряд із похідних збігається
абсолютно
Спрямовуючи
тут
,
за теоремою Лебега про монотонну
збіжність дістанемо рівність г).
д)
випливає з теореми про перетворення
незалежних величин
,
та теореми про математичне сподівання
добутку незалежних величин.
е) за означенням
,
де
використано незалежність суми
і події
та попередній пункт, внаслідок якого
генератиса суми незалежних у сукупності,
однаково розподілених величин дорівнює
відповідній степені генератриси доданку.
Зауваження.
Твердження
е) залишається справедливим для
дійснозначних величин
якщо тільки орректно визначено
перетворення
,
зокрема для дійсних
та при
.
Дійсно, характеристична функція суми
незалежних величин також дорівнює
добуткові характеристичних функцій
доданків.
2.5. Формула обертання для характеристичної функцiї
Теорема 2.5.1 (про формулу обертання для характеристичної функцiї).
Нехай
функцiя
розподiлу
F
має характеристичну функцiю
а)
для
всiх
,
що є точками неперервностi
F
справедлива тотожнiсть
б)
якщо
функцiя
F
абсолютно
iнтегровна
на
,
то
функцiя
розподiлу
F
має щiльнiсть f,
що
дорiвнює
Зауваження.
Абсолютна збiжнiсть
кратного iнтегралу
в (а) при
обумовлена обмеженiстю
характеристичної функцiї.
Така збiжнiсть
при
= 0 може порушуватись.
Доведення.
а)
нехай
випадкова величина
має функцiю
розподiлу
F,
а величина
не залежить вiд
Обчислимо за теоремою Фубiнi
при
Нехай
величина
не залежить вiд
.
Тодi за теоремою про властивостi
характеристичної функцiї, (е), щiльностi
та характеристичнi
функцiї
величин
та
пов’язанi рiвняннями
,
Помножимо
попереднє спiввiдношення на
з
використанням парностi функцiї
прийдемо при всiх
до тотожностi
За
теоремою про функцiю
розподiлу
суми незалежних величин лiва
частина збiгається
зi
щiльнiстю
суми незалежних величин
Тому
Оскiльки
,
i
за нерiвнiстю
Чебишева для дисперсiй
при
,
то
.
Тому за теоремою про спiввiдношення
слабкої збiжностi
та збiжностi
за ймовiрнiстю
,
а за теоремою про еквiвалентнiсть
слабкої збiжностi
та в основному
.
Згiдно
з
означенням збiжностi в основному
для всiх точок неперервностi функцiї розподiлу F.
б)
за
умови iнтегровностi
знак границi
у формулi
(а) за теоремою Лебега про мажоровану
збiжнiсть
можна внести пiд
знак кратного iнтегралу,
оскiльки
пiдiнтегральний
вираз не перевищує за модулем функцiї
,
яка iнтегровна
на
за аргументами x,
t.
Пiсля
такого переходу отримуємо
де
функцiя
f
визначена у формулюваннi
(б). Спрямовуючи тут
,
за означенням щiльностi
розподiлу
робимо висновок, що функцiя
розподiлу
F
має щiльнiсть
f
.[3]
Приклад
2.5.2.
Нехай
і
– незалежні випадкові величини,
розподілені по нормальному закону з
параметрами
і
відповідно. Розглянемо випадкову
величину
+
.
Тоді, як було показано в прикладі
2.2.3,
,
і за властивістю б) характеристичних
функцій отримаємо, шо
.
Але характеристичну функцію
смає
випадкова величина, розподілена за
нормальним законом з параметрами
.
Тому завдяки взаємно однозначній
відповідності між функцією розподілу
і характеристичною функцією випадкова
величина
також розподілена нормально ( з параметрами
).
Приклад
2.5.3.
Розглянемо незалежні випадкові величини
і
,
розподілених по закону Пуассона з
параметрами
.
Їх характеристичні функції задаються
формулами
Нехай
+
.
Тоді
і
знову
-
таки
завдяки
взаємно
однозначній
відповідності
між
функцією
розподілу
і
характеристичною
функцією
випадкова
величина
розподілена по закону Пуассона з
параметром
[4].