3. Порядок выполнения работы.

1. Изучить теоретическую часть работы.

2. Для представленного дифференциального уравнения, описывающего поведение системы автоматического регулирования (САР), составить характеристический многочлен вида (2.2).

3. Пользуясь геометрическим критерием устойчивости Михайлова, исследовать на устойчивость невозмущенное движение САР. Построить вид кривой Михайлова, найти число корней уравнения (2.2) с положительной вещественной частью.

4. Объяснить полученные результаты. Сделать выводы.

4. Алгоритм решения задачи.

Критерий Михайлова является частотным критерием устойчивости. В его основу положен принцип аргумента, известный из теории функций комплексного переменного.

Рассмотрим использование частотного критерия Михайлова для анализа устойчивости

системы автоматического управления заданной уравнением

Исходя из вида характеристического уравнения,

2p⁴+11 p³+21p²+16p+4=0, запишем характеристический многочлен D(p):

D(p)= a₀p⁴+a₁p³+a₂p²+a₃p+a₄, D(p)= 2p⁴+11p³+21p²+16p+4, (4.1)

Осуществляя подстановку p=j в (4.1), получим характеристический вектор D(j

D(j2(j⁴+11(j³+21(j²+16(j4, (4.2)

Разделим действительную и мнимую составляющие вектора D(j

D(jUjV (4.3)

где Y^ X^^

Вектор D(j изображенный в декартовых координатах на плоскости, при изменении вращается, концом вектора описывается кривая, которая называетсягодографом характеристического уравнения.

Практическая формулировка критерия Михайлова. Система будет устойчива, если при возрастании  от 0 до , годограф, начинаясь на положительной части вещественной оси, проходит последовательно в положительном направлении n квадрантов, где n - степень характеристического уравнения.

Такое перемещение годографа соответствует повороту вектора D(j на угол 0,5n.

Для построения годографа определим точки пересечения с вещественной X и мнимой Y осями.

Выбираются только положительные значения корней, так как  изменяется от 0 до .

1. Пересечение годографа с осью X происходит при:

Y^

^

_

Таким образом, первая точка пересечения при ₁=0 соответствует X₁)=4, вторая точка при _.2 соответствует X₂)=-22.

2. Пересечение годографа с осью Y происходит при:

X^^

z²,

2z² – 21z + 4=0,

_

_

Первая точка пересечения при ₁ = 0.44 соответствует Y₁ )=6, вторая точка при _3.2 соответствует Y₂ )= -313

Для построения графика зададимся рядом значений 0 <  < и рассчитаем соответствующие значенияX и Y

	0	0.2	0.44	1	1.2	2	3.2	...
X	4	3	0	-15	-22	-48	0	...
Y	0	3	6	5	0	-56	-313	...	-

Таблица 1.

Годограф характеристического уравнения представлен на рис.1.

Рис. 1.

Для того, что бы определить к какой оси стремится кривая Михайлова необходимо посчитать предел:

Так как предел равен 0, то годограф стремится к оси X, следовательно, угол поворота кривой равен 2π.

φ=2π

Для определения устойчивости данной системы найдем количество корней характеристического многочлена с положительной вещественной частью.

Для этого запишем формулу Михайлова:

, где φ угол поворота кривой, n=4 степень многочлена и λ число корней характеристического многочлена с положительной вещественной частью.

Подставим значения в формулу и найдем λ:

2π = 4π/2 – λπ,

2π= 2π – λπ,

λ=0.

Следовательно, система автоматического управления описанная уравнением является устойчивой.