Исследование возможных автоколебаний

При исследовании одночастотных периодических режимов (автоколебаний) для линеаризации может использоваься метод гармонического баланса (гармонической линеаризации) /1, § 18.1; 3, глава 5, стр.300–301/. Основная идея данного метода заключается в замене нелинейного выражения при входном сигнале

выражением,

,

которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному, так как коэффициенты гармонической линеаризации ипостоянны при постоянных значенияхи.

Если характеристика нелинейного элемента (НЭ) однозначная и симметричная относительно начала координат, то эквивалентный линейный элемент (ЛЭ) может описываться уравнением

.

В случае неоднозначных (петлевых) нелинейностей первая гармоника входного сигнала сдвинута по фазе относительно входного сигнала; этой же способностью должен обладать эквивалентный ЛЭ, поэтому при линеаризации используется элемент, свойства которого определяются уравнением

.

Передаточная функция и частотная характеристика в данном случае имеют вид

, .

Выбор коэффициентов идолжен обеспечить равенство между входными колебаниями эквивалентного ЛЭ и первой гармоникой реального НЭ. Коэффициенты гармонической линеаризации зависят от свойств НЭ и амплитуды входного сигнала.

При исследовании НЭ следует заменять последовательно соединенными выделенным линейным множителем и нелинейным звеном НЗ (характеристики которого становятся универсальными для любых нелинейностей рассматриваемого типа).

Для определения устойчивости и автоколебаний можно применять метод, изложенный в /3, § 5.1.1/:

1. Исходным уравнением для определения возможности существования в линеаризованной системе периодического решения, следовательно, и автоколебаний применяем признак нахождения системы на границе устойчивости, записанный в форме, предложенной Гольдфарбом:

, (3.1)

где — частотная передаточная функция линейной части системы (в нашем случае частотная передаточная функция разомкнутой скорректированной линейной системы),— эквивалентный комплексный коэффициент передачи.

2. Для применения ЛЧХ выражение (3.1) логарифмируется, и записываются уравнения

; (3.2)

. (3.3)

3. Решение определяется графически. Уравнения (3.2) и (3.3) должны удовлетворяться одновременно. Для нахождения искомых истроятся фазовая и амплитудная границы устойчивости (ФГУ и АГУ). Точки пересеченияи семействасносятся по вертикали на соответствующие фазовые характеристики нелинейной части. Через полученные точки проводится ФГУ. АГУ строится аналогично, точки пересеченияисносятся вертикально на характеристики.

4. Наличие точек пересечения с ФГУ — необходимое, но не достаточное условие существования автоколебаний. Необходимо проверить их устойчивость. Для этого используется правило: если при увеличении амплитудыперемещаются вниз, то ФГУ штрихуется снизу и наоборот. После проведения штриховки используется признак: автоколебания устойчивы, еслипри перемещении по ней в сторону увеличения частоты пересекает ФГУ, переходя с заштрихованной стороны на незаштрихованную.