2.4 Вывод

Проведя исследования нескорректированной системы автоматического управления, мы выяснили, что она является устойчивой, и ее качественные показатели соответствуют необходимым. Для исследования системы были использованы критерии устойчивости Гурвица, Найквиста, а также использовались программные продукты Matlab, MatCad, что сильно упростило задачу исследования.

III. Теоретические сведения о исследовании нелинейных элементов сау

Все реальные системы содержат нелинейные элементы. Наиболее часто встречаются нелинейности типа «насыщение» (рис 3.1б) и типа «зона нечувствительности» (рис 3.1а).

Рисунок 3.1 – Характеристики нелинейных элементов

Критерий абсолютной устойчивости в. М. Попова

Как указывалось выше, широкий класс нелинейных САУ может быть сведен к типовой структурной схеме, представляющей собой последовательное соединение нелинейного безынерционного звена и нелинейной части (рис. 4.20).

Под абсолютной устойчивостью понимают асимптотическую устойчивость равновесия системы “в целом” для нелинейностей, принадлежащих к определенному типу. Наиболее часто рассматриваются нелинейные характеристики вида , расположенные внутри угла, образованного прямыми ив первом и третьем квадрантах (рис. 4.28). Если положение равновесия абсолютно устойчиво, то оно является абсолютно устойчивым и для всех прямолинейных характеристик, где, поскольку эти характеристики также относятся к рассматриваемому типу.

Наиболее просто критерий абсолютной устойчивости формулируется для того случая, когда нелинейность удовлетворяет условию

,

(4.41)

то есть ,. Будем также предполагать, что линейная часть системы устойчива, и, следовательно, передаточная функцияне имеет полюсов в правой комплексной полуплоскости на мнимой оси. Тогда абсолютная устойчивость нелинейной САУ определяется следующей теоремой, предложенной в 1959 г. в работе румынского математика В. М. Попова.

Теорема. Если замкнутая система состоит из устойчивой линейной части с передаточной функцией , все полюсы которой располагаются в левой полуплоскости, и нелинейного элемента с характеристикой, лежащей в угле, то достаточным условием этой системы является выполнение при всехнеравенства

,

(4.42)

где q – произвольное вещественное число.

Рис. 4.28

Рассмотрим геометрическую интерпретацию этой теоремы. Для этого предварительно введем видоизмененную частотную характеристику линейной части, которая связана с исходнойсоотношениями

;

.

(4.43)

Обозначив далее и, можно переписать неравенство (4.42) следующим образом:

.

откуда получаем окончательно

.

(4.44)

Легко увидеть, что уравнение

(4.45)

определяет собой прямую линию на плоскости , которая проходит через точку с координатамис угловым коэффициентом, равным. Таким образом, исследуемая нелинейная САУ будет абсолютно устойчива, если на плоскости видоизмененной частотной характеристикилинейной части системы можно провести прямую через точкутак, чтобырасполагалась справа от этой прямой. Указанную прямую принято называть прямой Попова.

На (рис. 4.29, а) показан случай выполнения критерия абсолютной устойчивости, а на (рис. 4.29, б) – случай, когда прямую Попова построить нельзя и судить об устойчивости нелинейной системы не представляется возможным (напомним, что теорема В. М. Попова дает лишь достаточные условия абсолютной устойчивости).

Критерий В. М. Попова можно распространить и на системы с неустойчивой или нейтральной линейной частью, что соответствует наличию у передаточной функции правых или чисто мнимых полюсов. При этом необходимо перейти к видоизмененной передаточной функции, где положительный коэффициентr(r<K) выбирается из условия устойчивости эквивалентной линейной части с передаточной функцией .

а б

Рис. 4.29

Тогда для абсолютной устойчивости нелинейной САУ достаточно потребовать выполнение неравенства

(4.46)

для всех ω≥0 и произвольного вещественного числа q; причем нелинейная характеристика должна в данном случае располагаться внутри угла, ограниченного прямыми с угловыми коэффициентами r и K:

.

(4.47)

Критерий В. М. Попова включает в себя и условия устойчивости линеаризованной части системы как частный случай, когда характеристика z=F(x) линейна (при этом величину K следует понимать как граничный коэффициент усиления соответствующего линейного безынерционного звена). Условие неохвата годографом точки (-1,j0) совпадает при этом с рассмотренным выше условием абсолютной устойчивости, поскольку обе характеристики иимеют одинаковые вещественные части и, следовательно, пересекают вещественную ось комплексной плоскости в одних и тех же точках.

Между критерием абсолютной устойчивости В. М. Попова и вторым методом А. М. Ляпунова имеется глубокая взаимосвязь. Показано, в частности, что если выполняется условие абсолютной устойчивости (4.42), то существует функция Ляпунова вида «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности», имеющая во всем фазовом пространстве знакоопределенную производнуюобратного знака с функциейV. Широкое распространение критерия абсолютной устойчивости В. М. Попова к исследованию нелинейных САУ объясняется его высокой наглядностью, достаточной простотой и удобством приложения к практике инженерного проектирования.