12 Мішаний добуток векторів, його властивості,обчислення та застосування

Якщо векторний добуток двох векторів   помножається скалярно на третій вектор  , то такий добуток трьох векторів називається мішаним (векторно-скалярним) і позначається так:

=

Мішаний добуток має просте геометричне тлумачення – це скаляр, який за абсолютною величиною дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних трьох векторах.

Якщо вектори  ,  ,   утворюють праву трійку, то мішаний добуток є число додатне, що дорівнює зазначеному об’єму, а якщо трійка  ,  ,   ‑ ліва, то мішаний добуток – число від’ємне, яке за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних векторах.

Мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулеві тоді, коли ці вектори компланарні, тобто умова компланарності трьох векторів має вигляд:

Мішаний добуток не змінюється, якщо має місце переставлення співмножників за колом і змінює знак, якщо в такому переставленні порушено послідовність співмножників:

 

Тому мішаний добуток векторів  ,  ,   іноді позначають простіше, написавши їх поряд у тій послідовності, в якій проводяться дії:

 

14 Загальне рівняння прямої. Кут між прямими, умови паралельності та перпендикулярності

Пряма лінія — алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням першого степеня (лінійне рівняння):

ax + by + c = 0

де  ,  ,   — деякі числа, при чому   або   повинне бути відмінне від нуля.[1] Це рівняння - загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним».

Натомість, Канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції:

y = kx + b.

15 Еліпс Еліпсом називається множина всіх точок площини сума відстаней кожної з яких від двох даних точок цієї площини які називаються фокусами є сталою величиною більшою за відстань між фокусами. Канонічне р-ня еліпса: Точки перетину еліпса з осями координат називаються вершинами еліпса: B1(0,b) B2(0,-b) A1(a,0) A2(-a,0) Відрізки які зєднують протилежні вершини називаються пів осями еліпса. B1B2=2b-мала піввісь A1A2=2a –велика піввісь Ексцентрисетет еліпса: Еліпс є лінією другого порядку. Директрисами еліпса називають 2 прямі перпендикулярні до фокальної осі еліпса і симетрично розміщені відносно центра прямої на відстані: α/Ƹ- від центру. Р-ня директрис y= ± α/ ε

16 Гіпербола. Гіпербола-множина точок площини,абсолютна величина різниці відстаней кожної з яких від двох даних точок які називаються фокусом є сталою велечиною що ≠0 і менша за відстань між фокусами. Р-ня гіперболи : де a > 0 та b > 0 — параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи. Точки перетину гіперболи з фокальною віссю називаються її вершинами. Ексцинтриситет гіперболи : ε =c/a ε - завжди більше одиниці і він визначає форму гіперболи. Директрисами гіперболи називаються дві прямі які перпендикулярні до фокальної осі гіперболи і семитрично розміщені відносно її центра : y=a/ ε.