Тема 4. Множественная регрессия.

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

Y _i = ₀ + ₁x _{i 1} +₂x _{i 2} +…+ _m x _{i m} + _{i ,} (4.1.)

коэффициент регрессии _j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную x_j увеличить на единицу измерения, т. е. _j является нормативным коэффициентом. Обычно предполагается, что случайная величина _i имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным нулю и с дисперсией .

Анализ уравнения (4.1) и методика определения параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи уравнения (4.2.):

Y = X  + , (4.2.)

Y – это вектор зависимой переменной размерности п  1, представляющий собой п наблюдений значений у_i, Х— матрица п наблюдений независимых переменных X₁, X ₂, X _{3 , …} X _m, размерность матрицы Х равна п  (т+1); — подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности (т+1)  1; — вектор случайных отклонений (возмущений) размерности п  1. Таким образом,

Y = , X = ,  =

Уравнение (4.1) содержит значения неизвестных пара­метров ₀,₁,₂,… ,_m . Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрес­сии, в которой вместо истинных значений параметров под­ставлены их оценки (а именно такие регрессии и приме­няются на практике), имеет вид

Y =Ха + е=+е, (4.3)

где а — вектор оценок параметров; е — вектор «оценен­ных» отклонений регрессии, остатки регрессии е = Y - Ха; —оценка значе­ний Y, равная Ха.

Оценка параметров модели множественной регрессии с помощью метода наименьших квадратов.

Формулу для вычисления параметров регрессионного уравнения приведем без вывода

a = (X^т X )^-1 X ^т Y (4.4).

Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости объясняющих переменных, т. е., решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы ис­ходных данных линейно независимы. Для экономических показате­лей это условие выполняется не всегда. Линейная или близкая к ней связь между факторами называется мультиколлинеарностью и приводит к линейной зависимости нормальных уравнений, что делает вычисле­ние параметров либо невозможным, либо затрудняет содержатель­ную интерпретацию параметров модели. Мультиколлинеарность может возникать в силу разных причин. На­пример, несколько независимых переменных могут иметь общий вре­менной тренд, относительно которого они совершают малые колебания. В частности, так может случиться, когда значения одной независимой переменной являются лагированными значениями другой. Считают явление мультиколлинеарности в исходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0.8. Чтобы избавиться от мультиколлинеарности, в модель включают лишь один из линейно связанных между собой факторов, причем тот, который в большей степени свя­зан с зависимой переменной.

В качестве крите­рия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:

r_yxi > r_xixk , r_yxk > r_xixk , r_xixk < 0.8

Если приведенные неравенства (или хотя бы одно из них) не выполняются, то в модель включают тот фактор, который наиболее тесно связан с Y.